O que é o cálculo diferencial

O cálculo diferencial estuda como é que uma função varia — é a parte da matemática que define e usa a derivada. A derivada de uma função num ponto dá o declive da reta tangente à curva nesse ponto e diz se a função está a crescer ou a decrescer ali. No 11.º ano calculas derivadas com as regras de derivação e usas-as para estudar funções e resolver problemas de otimização.

O essencial

A derivada f'(x) é a taxa de variação da função: onde f'(x) > 0 a função cresce, onde f'(x) < 0 decresce, e onde f'(x) = 0 a tangente é horizontal — um ponto crítico a estudar. Geometricamente, é o declive da tangente; no cálculo, aplicam-se regras fixas: a derivada de uma constante é 0, a de x^n é n·x^(n-1), e as regras de potência, produto e quociente cobrem o resto das expressões.

Com a derivada faz-se o estudo da função: decide-se a monotonia pelo seu sinal, encontram-se zeros e extremos — sabendo que um zero de f’ não é automaticamente um extremo — e resolvem-se problemas de otimização, escolhendo o valor que maximiza ou minimiza uma grandeza num contexto concreto.

Erros comuns

• Concluir que a função cresce porque os valores são positivos: a crescer ou a descer decide-se pelo sinal de f’, não pelo de f.
• Derivar x^n só baixando o expoente ou só subtraindo 1: a regra inteira é n·x^(n-1).
• Assumir que f'(x) = 0 é um extremo: é um candidato — confirma-se vendo o que a função faz em volta do ponto.
• Multiplicar as derivadas em vez de aplicar a regra do produto: (f·g)’ não é f’·g’.