Ficha de Matemática — Segunda derivada e concavidades (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre a segunda derivada, as concavidades e os pontos de inflexão: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre a segunda derivada, o sentido das concavidades e os pontos de inflexão
• Cálculo da segunda derivada em funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas
• Relação entre o sinal da segunda derivada e o sentido da concavidade do gráfico
• Localização de pontos de inflexão a partir dos zeros da segunda derivada
• Verificação obrigatória da mudança de sinal da segunda derivada
• O caso de f(x) = x⁴, em que a segunda derivada se anula sem que exista ponto de inflexão
• Funções com um único ponto de inflexão e funções com dois pontos de inflexão simétricos
• Funções de concavidade constante, como o logaritmo e a exponencial de base e
• Ligação entre a natureza dos extremos e o sinal da segunda derivada
• Um programa em Python que avalia a segunda derivada à volta de um ponto de inflexão
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: calcular segundas derivadas, interpretar o sinal da segunda derivada como sentido da concavidade, localizar pontos de inflexão verificando a mudança de sinal e reconhecer situações em que o anulamento da segunda derivada não corresponde a qualquer ponto de inflexão.

Conteúdo programático: Funções (Matemática A, 12.º ano): segunda derivada; sinal e zeros da segunda derivada; sentido das concavidades; pontos de inflexão; relação com a natureza dos extremos de uma função derivável.

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Conteúdo completo

Ficha 10 — Segunda derivada, concavidades e pontos de inflexão

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: calcular a segunda derivada, usar o seu sinal para identificar o sentido das concavidades do gráfico, localizar pontos de inflexão (zeros da segunda derivada com mudança de sinal) e reconhecer os casos em que a segunda derivada se anula sem que exista ponto de inflexão.

Revisão rápida — segunda derivada e concavidades

• Segunda derivada: é a derivada da derivada, f” = (f’)’. Dá informação sobre a forma do gráfico, enquanto a primeira derivada dá informação sobre o crescimento.
• Sentido das concavidades: se f”(x) > 0 num intervalo, o gráfico tem a concavidade voltada para cima (a curva «sorri»); se f”(x) < 0, tem a concavidade voltada para baixo (a curva «franze»).
• Ponto de inflexão: ponto onde o gráfico muda de sentido de concavidade. Para o localizar: calcular f”, resolver f”(x) = 0 e verificar se f” muda de sinal nesse ponto — em x₀ tem de haver troca de sinal de f” para que x₀ seja abcissa de um ponto de inflexão.
• Atenção: f”(x₀) = 0 não garante ponto de inflexão. Em f(x) = x⁴ tem-se f”(x) = 12x², que se anula em 0 mas é sempre positiva (ou nula): não há mudança de sinal e o gráfico é côncavo para cima em todo o ℝ, pelo que não existe ponto de inflexão na origem.
• Pontos de inflexão frequentes: em polinómios de grau 3 há exatamente um (em f(x) = x³ − 3x é a origem); em f(x) = e^−x² há dois, simétricos; o logaritmo e a exponencial de base e têm concavidade de sinal constante (ln x é sempre côncava para baixo, e^x sempre para cima).
• Ligação com os extremos: nos extremos de uma função derivável a segunda derivada costuma ter sinal definido (negativa num máximo, positiva num mínimo), o que dá uma confirmação adicional da natureza do extremo.

Exercícios

1. Primeiro estudo: para f(x) = x³ − 3x² + 2, determina f” e o seu zero, indica os intervalos de concavidade e as coordenadas do ponto de inflexão.

2. Cúbica simples: determina a segunda derivada de f(x) = x³, mostra que muda de sinal na origem e indica o ponto de inflexão.

3. Alerta: para f(x) = x⁴, calcula f” e explica por que razão x = 0 não é abcissa de um ponto de inflexão, apesar de f”(0) = 0.

4. Concavidade constante: determina a segunda derivada de f(x) = x² − 4x + 1 e indica o sentido da concavidade em todo o domínio, justificando.

5. Com extremos: para f(x) = x³ − 6x² + 9x, determina f” e as coordenadas do ponto de inflexão, verificando a mudança de sinal.

6. Exponencial gaussiana: para f(x) = e^−x², mostra que f”(x) = 2(2x² − 1)e^−x² e indica as abcissas dos pontos de inflexão (seis casas decimais).

7. Logaritmo: determina a segunda derivada de f(x) = ln x, indica o sentido da concavidade e explica se existe algum ponto de inflexão.

8. Extremos e inflexão: para f(x) = x³ − 3x, determina os extremos, a segunda derivada e o ponto de inflexão, relacionando as três informações.

9. Dois pontos de inflexão: para f(x) = x⁴ − 6x² + 1, determina f” e as coordenadas dos dois pontos de inflexão.

10. Produto por exponencial: para f(x) = x e^x, mostra que f”(x) = (x + 2)e^x e determina as coordenadas do ponto de inflexão (seis casas decimais).

11. Justificação: explica a relação entre o sinal da segunda derivada e o sentido da concavidade e justifica por que razão f”(x₀) = 0, por si só, não é suficiente para garantir um ponto de inflexão em x₀.

12. (Python) O programa seguinte avalia a segunda derivada de f(x) = x³ − 6x² + 9x em pontos à volta de x = 2 e imprime o estado da concavidade. Executa-o e indica exatamente o que é impresso, confirmando o resultado da questão 5.

def f(x): return x ** 3 – 6 * x ** 2 + 9 * x def segunda_derivada(x): return 6 * x – 12 for x in (1.5, 1.9, 2.0, 2.1, 2.5): v = segunda_derivada(x) if v > 0: estado = ‘concava para cima’ elif v < 0: estado = ‘concava para baixo’ else: estado = ‘ponto de inflexao’ print(x, ‘->’, estado) print(‘Ponto de inflexao:’, (2, f(2)))

Dica: percorre sempre a mesma sequência — f” primeiro, zeros depois, e por fim o estudo do sinal à volta de cada zero. É esse último passo que distingue um verdadeiro ponto de inflexão de um simples ponto onde a segunda derivada se anula.

Soluções — Segunda derivada, concavidades e inflexão

1. f'(x) = 3x² − 6x e f”(x) = 6x − 6. O zero é x = 1. Para x < 1 tem-se f”(x) < 0 (concavidade voltada para baixo) e para x > 1 tem-se f”(x) > 0 (concavidade voltada para cima), logo há mudança de sinal. f(1) = 1 − 3 + 2 = 0, pelo que o ponto de inflexão é (1, 0).

2. f'(x) = 3x² e f”(x) = 6x. Para x < 0, f”(x) < 0 (concavidade para baixo); para x > 0, f”(x) > 0 (concavidade para cima); em x = 0 tem-se f”(0) = 0 com mudança de sinal, logo a origem (0, 0) é ponto de inflexão.

3. f'(x) = 4x³ e f”(x) = 12x². Tem-se f”(0) = 0, mas como 12x² ≥ 0 para todo o x real, a segunda derivada nunca é negativa nem muda de sinal: o gráfico tem a concavidade voltada para cima em todo o ℝ (é uma parábola de quarto grau «achatada» na origem). Como não existe mudança de sentido de concavidade, x = 0 não é abcissa de ponto de inflexão — é o exemplo que mostra que f”(x₀) = 0 não basta.

4. f'(x) = 2x − 4 e f”(x) = 2. Como 2 > 0 para todo o x, a concavidade está voltada para cima em todo o domínio ℝ — trata-se de uma parábola com a abertura para cima, e não existe ponto de inflexão (a segunda derivada nunca se anula).

5. f'(x) = 3x² − 12x + 9 e f”(x) = 6x − 12. O zero é x = 2; para x < 2, f” < 0 e para x > 2, f” > 0 — há mudança de sinal, confirmando o ponto de inflexão. f(2) = 8 − 24 + 18 = 2, logo o ponto de inflexão é (2, 2) ✓ (confirmado pelo programa da questão 12).

6. f'(x) = −2x e^−x² e, aplicando de novo a regra do produto, f”(x) = −2e^−x² + (−2x)(−2x)e^−x² = (4x² − 2)e^−x² = 2(2x² − 1)e^−x². Como e^−x² > 0 sempre, os zeros vêm de 2x² − 1 = 0, isto é x² = 1/2 e portanto x = ±1/√2 ≈ ±0,707107. Em ambos os pontos a segunda derivada muda de sinal (f”(0) = −2 < 0 e f”(±1) = 2e⁻¹ > 0), logo existem dois pontos de inflexão, simétricos um do outro.

7. f'(x) = 1/x e f”(x) = −1/x², definida para x > 0. Como −1/x² é sempre negativa, o gráfico do logaritmo tem a concavidade voltada para baixo em todo o seu domínio ]0, +∞[. A segunda derivada nunca se anula, pelo que não existe ponto de inflexão.

8. f'(x) = 3x² − 3, que se anula em x = ±1: f(−1) = −1 + 3 = 2 é um máximo e f(1) = 1 − 3 = −2 é um mínimo. A segunda derivada é f”(x) = 6x, que se anula em x = 0 com mudança de sinal, dando o ponto de inflexão (0, 0). Relação entre as três informações: o máximo ocorre onde a concavidade é voltada para baixo (f”(−1) = −6 < 0) e o mínimo onde é voltada para cima (f”(1) = 6 > 0), e o ponto de inflexão situa-se exatamente entre os dois extremos.

9. f'(x) = 4x³ − 12x e f”(x) = 12x² − 12. Igualando a zero: 12x² = 12 ⟹ x² = 1 ⟹ x = ±1. A segunda derivada (uma parábola de abertura para cima) é negativa entre −1 e 1 e positiva fora desse intervalo, mudando de sinal em ambos os pontos. Como f(1) = 1 − 6 + 1 = −4 e a função é par, tem-se f(−1) = −4 também. Os pontos de inflexão são (1, −4) e (−1, −4).

10. f'(x) = e^x + x e^x = (1 + x)e^x e, derivando de novo pela regra do produto, f”(x) = e^x + (1 + x)e^x = (x + 2)e^x. Como e^x > 0 sempre, o único zero é x = −2, e aí (x + 2) muda de sinal — logo há ponto de inflexão. f(−2) = −2e⁻² ≈ −0,270671, pelo que o ponto de inflexão é aproximadamente (−2; −0,270671).

11. A segunda derivada mede a taxa de variação da primeira, ou seja, a rapidez com que o declive da tangente muda: se f” > 0, o declive está a aumentar e a curva «vira-se para cima», ficando acima da sua tangente — concavidade voltada para cima; se f” < 0, o declive está a diminuir e a curva fica abaixo da tangente — concavidade voltada para baixo. Quanto à segunda parte: um ponto de inflexão exige uma mudança de sentido da concavidade, e essa mudança traduz-se numa mudança de sinal de f”. O anulamento de f” apenas indica que o declive tem aí um extremo (ou uma situação de estacionaridade); se f” não mudar de sinal, a concavidade mantém-se do mesmo lado e não há inflexão — como se mostrou em f(x) = x⁴ (questão 3), onde f” = 12x² ≥ 0 e o gráfico é côncavo para cima em todo o ℝ.

12. O programa imprime: 1.5 -> concava para baixo · 1.9 -> concava para baixo · 2.0 -> ponto de inflexao · 2.1 -> concava para cima · 2.5 -> concava para cima · Ponto de inflexao: (2, 2). Confirma exatamente o estudo analítico da questão 5: f” = 6x − 12 é negativa antes de 2 (concavidade para baixo) e positiva depois (concavidade para cima), anulando-se em x = 2, onde f(2) = 2 — o ponto de inflexão (2, 2).

Nota: ao estudar uma função, a segunda derivada completa a informação da primeira — o crescimento diz para onde vai o gráfico e a concavidade diz como vai. Os dois estudos juntos permitem esboçar o gráfico com fidelidade.