Ficha de Matemática — Aplicações da derivada: monotonia, extremos e otimização (11.º Ano)

Ficha de Matemática A (11.º ano) sobre aplicações da derivada: monotonia, extremos e otimização.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre aplicações da derivada, com soluções completas
• Revisão rápida: monotonia pelo sinal de f′ e critério de extremos pela mudança de sinal
• Construção de quadros de variação com o sinal de f′ e as setas de monotonia
• Extremos relativos de funções quadráticas e cúbicas
• Extremos absolutos num intervalo fechado, comparando com os extremos do intervalo
• Problemas de otimização em contexto real: área máxima, volume máximo e lucro máximo

Competências que desenvolve: aplicar o cálculo diferencial no 11.º ano — decidir a monotonia pelo sinal da derivada, distinguir zeros de f′ de extremos, determinar extremos relativos e absolutos, e modelar e resolver problemas de otimização com verificação do domínio de cada problema.

Conteúdo programático: Funções — Aplicações da derivada (Matemática A, 11.º ano): monotonia e extremos pelo sinal e zeros da derivada; quadro de variação; problemas de otimização em contexto real.

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Conteúdo completo

Ficha 33 — Aplicações da derivada: monotonia, extremos e otimização

11.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: Estudar a monotonia e os extremos de uma função a partir do sinal e dos zeros da sua derivada, construir quadros de variação e resolver problemas de otimização em contexto real.

Revisão rápida — sinal da derivada, extremos e otimização

• Monotonia pelo sinal da derivada: num intervalo onde f′ > 0 a função é crescente; onde f′ < 0 é decrescente; onde f′ = 0 em todo o intervalo, é constante.
• Extremos relativos: se f′ muda de sinal em x = a, então a é extremo — passa de + para − ⇒ máximo relativo; de − para + ⇒ mínimo relativo. Se f′ não muda de sinal (por exemplo, f(x) = x³ em x = 0), não há extremo.
• Quadro de variação: junta-se o sinal de f′ e a monotonia de f num único quadro, com uma linha para f′ (+/0/−) e outra com setas ↗ / ↘ para f, mais os valores de f nos pontos críticos.
• Atenção à condição necessária: f′(a) = 0 não garante extremo — é apenas um candidato. É preciso estudar a variação de sinal de f′ em volta de a.
• Extremos absolutos num intervalo [a, b]: comparam-se os valores de f nos extremos do intervalo com os valores nos extremos relativos interiores — o maior é o máximo absoluto, o menor o mínimo absoluto.
• Otimização (receita): (1) escrever a função objetivo e o domínio com uma só variável; (2) derivar; (3) resolver f′(x) = 0; (4) confirmar pelo sinal de f′ que é máximo ou mínimo; (5) responder ao problema com unidades.

Exercícios

1. Monotonia e extremo: estuda a monotonia de f(x) = x² − 6x + 5 pelo sinal de f′ e indica o extremo relativo.

2. Cúbica com dois extremos: para f(x) = x³ − 3x, calcula f′(x), estuda o seu sinal e indica os extremos relativos.

3. Extremos: determina os extremos relativos de f(x) = x³ − 3x² + 1.

4. Máximo por derivada: mostra que f(x) = −x² + 4x tem um máximo relativo em x = 2 e indica o seu valor.

5. Quadro de variação: completa o quadro de variação de f(x) = x² − 6x + 5.

6. Sem extremo: estuda a monotonia de f(x) = x³ e explica porque não tem extremos, apesar de f′(0) = 0.

7. Extremos absolutos num intervalo: para f(x) = x² − 6x + 5 em [0, 5], determina o máximo e o mínimo absolutos.

8. Extremos: determina os extremos relativos de f(x) = 2x³ − 3x² − 12x.

9. Otimização (perímetro): de todos os retângulos com perímetro 20 cm, determina o de área máxima. Indica as suas dimensões e a área.

10. Otimização (volume): da caixa sem tampa construída a partir de um quadrado de cartão de 12 cm de lado (cortando quadrados de lado x nos cantos), sabe-se que V(x) = x(12 − 2x)², com 0 < x < 6. Determina o valor de x que maximiza o volume e o volume máximo.

11. V/F — corrige as falsas: a) se f′ > 0 num intervalo, f é crescente nesse intervalo · b) num extremo relativo de uma função diferenciável tem-se f′ = 0 · c) f′(a) = 0 garante que x = a é extremo relativo · d) se f′ passa de + para − em x = a, então a é máximo relativo · e) o máximo absoluto de uma função num intervalo fechado pode ocorrer num dos extremos do intervalo.

12. Problema (lucro): o lucro (em milhares de euros) de uma empresa ao produzir x centenas de unidades, para 2 ≤ x ≤ 5, é L(x) = −x³ + 9x² − 24x + 20. Determina a produção que maximiza o lucro e o lucro máximo.

Dica: escreve sempre o quadro de variação (sinal de f′ e setas de f) antes de concluir sobre extremos — é o processo que mostra o raciocínio e evita confundir um zero de f′ com um extremo. Nos problemas de otimização, não esqueças de verificar se o ponto crítico pertence ao domínio do problema.

Soluções — Aplicações da derivada

1. f′(x) = 2x − 6; f′(x) = 0 ⇔ x = 3. Para x < 3, f′ < 0 → f decrescente; para x > 3, f′ > 0 → f crescente. Como f′ passa de − para +, x = 3 é mínimo relativo, com f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.

2. f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1); zeros: x = −1 e x = 1. Sinal: f′ > 0 em ]−∞, −1[, f′ < 0 em ]−1, 1[ e f′ > 0 em ]1, +∞[. Logo x = −1 é máximo relativo (f(−1) = −1 + 3 = 2) e x = 1 é mínimo relativo (f(1) = 1 − 3 = −2).

3. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2); zeros: x = 0 e x = 2. Sinal: f′ > 0 em ]−∞, 0[, f′ < 0 em ]0, 2[ e f′ > 0 em ]2, +∞[. Logo máximo relativo em x = 0: f(0) = 1; mínimo relativo em x = 2: f(2) = 8 − 12 + 1 = −3.

4. f′(x) = −2x + 4; f′(x) = 0 ⇔ x = 2. Para x < 2, f′ > 0 (crescente); para x > 2, f′ < 0 (decrescente) — f′ passa de + para −, logo x = 2 é máximo relativo, com f(2) = −4 + 8 = 4. (É o vértice da parábola voltada para baixo.)

5. Quadro de variação de f(x) = x² − 6x + 5: f′ < 0 em ]−∞, 3[ com f decrescente (↘); f′(3) = 0; f′ > 0 em ]3, +∞[ com f crescente (↗). No ponto crítico, f(3) = −4 (mínimo).

6. f(x) = x³ → f′(x) = 3x². Como 3x² ≥ 0 para todo o x (e só é 0 em x = 0), a função é crescente em ℝ. Em x = 0 temos f′(0) = 0, mas f′ não muda de sinal (é positiva dos dois lados): a tangente é horizontal e a função atravessa-a — é apenas um ponto de derivada nula, não um extremo.

7. f′(x) = 2x − 6 → ponto crítico x = 3 (mínimo relativo, f(3) = −4). Extremos do intervalo: f(0) = 5 e f(5) = 25 − 30 + 5 = 0. Comparando {5, −4, 0}: o máximo absoluto é 5 (em x = 0) e o mínimo absoluto é −4 (em x = 3).

8. f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1); zeros: x = −1 e x = 2. Sinal: f′ > 0 em ]−∞, −1[, f′ < 0 em ]−1, 2[, f′ > 0 em ]2, +∞[. Máximo relativo em x = −1: f(−1) = −2 − 3 + 12 = 7; mínimo relativo em x = 2: f(2) = 16 − 12 − 24 = −20.

9. Se um lado mede x, o outro mede 10 − x (perímetro 20), logo a área é A(x) = x(10 − x) = 10x − x², com 0 < x < 10. A′(x) = 10 − 2x = 0 ⇔ x = 5. Como A′ passa de + para −, é máximo. O retângulo de área máxima é o quadrado de 5 cm × 5 cm, com área 25 cm².

10. V(x) = x(12 − 2x)² = 4x³ − 48x² + 144x → V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x² − 8x + 12) = 12(x − 2)(x − 6). Os zeros são x = 2 e x = 6; como 0 < x < 6, só x = 2 pertence ao domínio. V′ > 0 em ]0, 2[ e V′ < 0 em ]2, 6[ (12 é positivo e x − 6 < 0) → x = 2 é máximo. Volume máximo: V(2) = 2 × (12 − 4)² = 2 × 64 = 128 cm³.

11. a) V b) V c) F — f′(a) = 0 apenas indica um candidato a extremo; é preciso que f′ mude de sinal (contraexemplo: f(x) = x³ em x = 0) d) V e) V — no exercício 7 o máximo absoluto ocorre no extremo x = 0 do intervalo.

12. L′(x) = −3x² + 18x − 24 = −3(x² − 6x + 8) = −3(x − 2)(x − 4); zeros: x = 2 e x = 4. Em ]2, 4[ o produto (x − 2)(x − 4) é negativo, logo L′ > 0 (crescente); em ]4, 5[ é positivo, logo L′ < 0 (decrescente). Assim x = 4 é máximo. L(4) = −64 + 144 − 96 + 20 = 4. Comparando com os extremos do intervalo — L(2) = 0 e L(5) = −125 + 225 − 120 + 20 = 0 — o lucro máximo é 4 milhares de euros (4 000 €), obtido com 400 unidades.

Nota: a derivada só faz sentido dentro do domínio do problema — verifica sempre se o ponto crítico é admissível e apresenta a resposta com as unidades corretas.