Ficha de MACS — Grafos de Euler (11.º Ano)
Ficha de MACS para o 11.º ano sobre grafos de Euler: caminho e circuito euleriano, Teorema de Euler (graus pares e ímpares), o problema das pontes de Königsberg (1736) e eulerização de redes de logística — 12 exercícios com soluções.
O que inclui esta ficha
- Caminho vs circuito euleriano (atravessa cada aresta uma vez só)
- Teorema de Euler: 0 ímpares → circuito · 2 ímpares → caminho · mais → impossível
- Königsberg, 1736: graus 5, 3, 3, 3 e a origem da teoria dos grafos
- Contagem de entradas e saídas (porque o grau par é obrigatório no meio do percurso)
- Eulerização: emparelhar vértices ímpares com o menor acréscimo
- Aplicações: carteiro, recolha de lixo, limpeza de ruas, patrulhamento
- Kaliningrad hoje (5 pontes): de impossível a caminho possível
- 12 exercícios de tipo diversificado, com soluções completas
Competências que desenvolve: Aplicar um teorema a situações concretas, decidir a existência de percursos por critérios numéricos e propor soluções de otimização (eulerização) — pensamento computacional e resolução de problemas das AE de MACS.
Conteúdo programático: Tema «Modelos de grafos e populacionais» — tópico «Grafos de Euler» (AE de Matemática Aplicada às Ciências Sociais do 11.º ano): condições para circuito e caminho euleriano, Teorema de Euler, eulerização, problemas históricos e situações de logística.
Porque isto importa
É a ficha mais «icónica» do tema — o problema que criou a teoria dos grafos — e a que os testes mais cobram em formato de decisão: dar uma lista de graus e pedir «circuito, caminho ou impossível?» (ex. 3–5) é o exercício clássico, e o truque de contagem (0 ou 2 ímpares) aprende-se num minuto mas engana sempre quem não conta direito. A eulerização (ex. 7, 11) é a parte aplicada que as AE destacam: quando não dá para «uma vez só», repetir o mínimo — e justificar custos. O ex. 6 (Kaliningrad) mostra o teorema a mudar com a história, e a ficha prepara a distinção com Hamilton (ficha 3): aqui contam-se arestas, lá contam-se vértices.
Erros comuns
- Contar vértices em vez de arestas (Euler trata arestas).
- Esquecer a condição de conexao do grafo.
- Assumir que se pode começar em qualquer ponto com 2 ímpares (só nos ímpares).
- Achar que vértices não podem repetir-se num caminho euleriano (podem — repetem-se arestas).
Como usar esta ficha
Imprime a ficha e resolve os exercícios sem consultar as soluções. Antes de qualquer decisão, escreve sempre a lista de graus e conta os ímpares — é a única coisa que o teorema pede. Só depois de terminar compara com as soluções da página 4 — é nessa comparação que se identifica o que ainda precisa de revisão.