Ficha de Matemática — Teorema Fundamental do Cálculo (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre o Teorema Fundamental do Cálculo: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre o Teorema Fundamental do Cálculo
• Enunciado das duas partes do teorema
• 1.ª parte: derivada da função integral e a inversão entre derivar e integrar
• 2.ª parte: regra de Barrow para o cálculo de integrais definidos
• Independência do resultado em relação à primitiva escolhida
• Condições de aplicação (continuidade e subdivisão do intervalo)
• Cálculo de integrais definidos de polinómios, funções racionais, exponenciais e trigonométricas
• Determinação da expressão algébrica de uma função definida por um integral
• Interpretação geométrica e distinção entre área com sinal e área geométrica
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: enunciar e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, calcular integrais definidos pela regra de Barrow, determinar a expressão de uma função definida por um integral e a sua derivada, e justificar por que razão o resultado não depende da primitiva escolhida.

Conteúdo programático: Primitivas e integrais (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): Teorema Fundamental do Cálculo; cálculo de integrais definidos.

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Conteúdo completo

Ficha 4 — Teorema Fundamental do Cálculo

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: compreender o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga a derivação e a integração, e usá-lo para calcular integrais definidos através de uma primitiva (regra de Barrow).

Revisão rápida — Teorema Fundamental do Cálculo

• 1.ª parte (derivada da função integral). Se f é contínua num intervalo I e a ∈ I, então a função F(x) = ∫_a^x f(t) dt é derivável em I e F′(x) = f(x). Ou seja: derivar a função integral devolve a função inicial.
• 2.ª parte (regra de Barrow). Se F é qualquer primitiva de f em [a, b], então ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Escreve-se também [F(x)]_a^b = F(b) − F(a).
• Porque «qualquer» primitiva serve: duas primitivas de f diferem por uma constante, e essa constante desaparece na diferença F(b) − F(a). A escolha da primitiva não influencia o valor do integral definido — usa-se por isso a mais simples (com C = 0).
• O que o teorema diz ao fundo: a derivação e a integração são operações inversas. É este resultado que permite calcular áreas (um problema geométrico) através de primitivas (um problema algébrico).
• Cuidados de aplicação: a função tem de ser contínua no intervalo de integração; se houver descontinuidades, o intervalo deve ser dividido.
• Regra prática: para ∫_a^b f(x) dx — (i) determinar uma primitiva F de f; (ii) calcular F(b); (iii) calcular F(a); (iv) subtrair, pela ordem F(b) − F(a) (inverter a ordem muda o sinal).

Exercícios

1. Enuncia as duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo e explica em que sentido este teorema mostra que «derivar» e «integrar» são operações inversas.

2. Calcula ∫₀² 3x² dx, usando a regra de Barrow.

3. Calcula ∫₁³ (2x + 1) dx.

4. Calcula ∫₀^π cos x dx e interpreta geometricamente o resultado.

5. Calcula ∫₁² (1/x) dx e apresenta o resultado na forma exata e arredondado a três casas decimais.

6. Calcula ∫₀¹ eˣ dx e indica o valor arredondado a quatro casas decimais.

7. Calcula ∫₁⁴ (1/√x) dx, começando por determinar a primitiva da função.

8. Calcula ∫₀¹ (x³ + 1) dx.

9. Considera a função definida por F(x) = ∫₀^x t² dt. Determina uma expressão algébrica de F, calcula F′(x) e verifica que se obtém a função integranda — confirmando a 1.ª parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

10. Calcula ∫₋₁¹ x² dx. Explica por que razão aqui o valor do integral é a área da região, ao contrário do que acontecia com x³.

11. Calcula ∫₀^π/4 (1/cos²x) dx, sabendo que a primitiva de 1/cos²x é tg x.

12. Justificação: explica por que razão o valor do integral definido não depende da primitiva escolhida, e indica as condições de aplicação da regra de Barrow.

Soluções — Teorema Fundamental do Cálculo

1. 1.ª parte: se f é contínua em I e a ∈ I, então F(x) = ∫_a^x f(t) dt é derivável e F′(x) = f(x). 2.ª parte (Barrow): se F é uma primitiva de f em [a, b], então ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). O teorema mostra que as operações são inversas neste sentido preciso: se se começar por integrar f e depois derivar o resultado, volta-se a obter f (1.ª parte); e para calcular um integral definido basta dispor de uma primitiva (2.ª parte). Assim, derivar e integrar desfazem uma à outra, exatamente como multiplicar e dividir.

2. Uma primitiva de 3x² é x³. Logo ∫₀² 3x² dx = [x³]₀² = 2³ − 0³ = 8 − 0 = 8.

3. Uma primitiva de 2x + 1 é x² + x. Logo ∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = (9 + 3) − (1 + 1) = 12 − 2 = 10.

4. A primitiva de cos x é sen x, logo ∫₀^π cos x dx = [sen x]₀^π = sen π − sen 0 = 0 − 0 = 0. Geometricamente, o resultado é 0 porque no intervalo [0, π/2] a função é positiva e no intervalo [π/2, π] é negativa, e as duas regiões têm áreas iguais: a área com sinal de uma anula a da outra. A área geométrica da região total seria 1 + 1 = 2.

5. A primitiva de 1/x é ln x (para x > 0), logo ∫₁² (1/x) dx = [ln x]₁² = ln 2 − ln 1 = ln 2 − 0 = ln 2 ≈ 0,693. (É interessante notar que este é o valor exato, não aproximado: o integral de 1/x entre 1 e 2 é definido como sendo ln 2.)

6. ∫₀¹ eˣ dx = [eˣ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 2,71828 − 1 = 1,7183 (a quatro casas decimais).

7. Escreve-se 1/√x = x^(−1/2); a sua primitiva é x^(1/2)/(1/2) = 2√x. Logo ∫₁⁴ (1/√x) dx = [2√x]₁⁴ = 2√4 − 2√1 = 2 × 2 − 2 × 1 = 4 − 2 = 2.

8. Uma primitiva de x³ + 1 é x⁴/4 + x. Logo ∫₀¹ (x³ + 1) dx = [x⁴/4 + x]₀¹ = (1/4 + 1) − 0 = 5/4 = 1,25.

9. Como a primitiva de t² é t³/3, tem-se F(x) = [t³/3]₀^x = x³/3 − 0 = x³/3. Derivando: F′(x) = 3x²/3 = x² — que é exatamente a função integranda f(t) = t². Confirma-se assim a 1.ª parte do Teorema Fundamental do Cálculo: derivar a função integral devolve a função inicial.

10. ∫₋₁¹ x² dx = [x³/3]₋₁¹ = 1/3 − (−1/3) = 1/3 + 1/3 = 2/3. Aqui o integral é a área da região porque f(x) = x² é não negativa em todo o intervalo [−1, 1]: o gráfico está sempre sobre (ou sobre) o eixo Ox, pelo que nenhuma parcela contribui negativamente e nada se cancela. No caso de x³, a função é negativa em [−1, 0], o que fazia cancelar metade da área.

11. Como a primitiva de 1/cos²x é tg x, tem-se ∫₀^π/4 (1/cos²x) dx = [tg x]₀^π/4 = tg(π/4) − tg 0 = 1 − 0 = 1.

12. O valor do integral definido não depende da primitiva escolhida porque duas primitivas quaisquer de f numa função diferem por uma constante: se F e G são primitivas de f, então G(x) = F(x) + C. Ora G(b) − G(a) = [F(b) + C] − [F(a) + C] = F(b) − F(a) — a constante anula-se na subtração. Por isso se pode escolher a primitiva mais simples (com C = 0) sem alterar o resultado. Condições de aplicação: f tem de ser contínua no intervalo [a, b] (a continuidade garante que o integral existe e que o teorema se aplica); se f tiver descontinuidades dentro do intervalo, este deve ser subdividido nos troços de continuidade antes de aplicar a regra.

Nota: a ordem em F(b) − F(a) é a origem da maioria dos erros de sinal. Escreve sempre os limites na notação [F(x)]_a^b antes de substituir, e substitui o limite superior primeiro.