Ficha de Matemática — Resolução aproximada de equações (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre a resolução aproximada de equações: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre resolução aproximada de equações
• Teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy) e as suas duas hipóteses
• Garantia de existência de raiz e prova de unicidade pela monotonia
• Método da bisseção aplicado passo a passo, com o intervalo obtido em cada iteração
• Método de Newton-Raphson com a fórmula iterativa e três iterações completas
• Análise dos erros de cada iteração de Newton-Raphson e a duplicação das casas decimais corretas
• Aplicação dos métodos a uma equação trigonométrica e a uma equação com exponencial
• Prova de que uma equação cúbica tem três soluções, por aplicação do teorema a intervalos disjuntos
• Interpretação geométrica da bisseção (divisão do intervalo) e de Newton-Raphson (reta tangente)
• Comparação dos dois métodos quanto à rapidez, às condições exigidas e às situações de preferência
• Um programa em Python que aplica os dois algoritmos à mesma equação
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: aplicar o teorema de Bolzano-Cauchy para garantir a existência de raízes, provar a unicidade pela monotonia, executar iterativamente os métodos da bisseção e de Newton-Raphson, interpretar geometricamente cada método e escolher o mais adequado em função das condições e da precisão pretendida.

Conteúdo programático: Funções (Matemática A, 12.º ano): teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy); existência e unicidade de raízes; método da bisseção; método de Newton-Raphson; interpretação geométrica; resolução aproximada de equações.

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Conteúdo completo

Ficha 13 — Resolução aproximada de equações

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: aplicar o teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy) para garantir a existência de raízes, localizar raízes pelos métodos da bisseção e de Newton-Raphson, interpretar geometricamente cada método e comparar as suas velocidades de convergência.

Revisão rápida — resolução aproximada de equações

• Teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy): se f é contínua em [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários (f(a) × f(b) < 0), então existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que f(c) = 0. O teorema garante a existência da raiz (não a unicidade, nem o seu valor).
• Unicidade: se além da continuidade a função for estritamente monótona no intervalo (por exemplo f’ > 0 em ]a, b[), a raiz é única.
• Método da bisseção: a partir de [a, b] com f(a)·f(b) < 0, calcula-se o ponto médio m; o sinal de f(m) diz qual das metades contém a raiz. Repetindo, o intervalo reduz-se a metade em cada passo: ao fim de n iterações tem largura (b − a)/2ⁿ.
• Método de Newton-Raphson: a partir de uma estimativa inicial x₀, usa-se a reta tangente ao gráfico nesse ponto: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f'(x_n). Geometricamente, x_n+1 é a abcissa em que a tangente em x_n corta o eixo Ox.
• Comparação: a bisseção converge sempre (só precisa de continuidade e de mudança de sinal), mas devagar — cada iteração ganha um dígito binário. O método de Newton converge muito mais depressa quando a estimativa inicial é boa, mas exige o cálculo de f’ e pode falhar se f'(x_n) for próximo de zero ou se a estimativa estiver longe da raiz.
• Nota sobre arredondamentos: uma raiz obtida por método numérico é sempre um valor aproximado; a precisão pretendida determina quantas iterações realizar.

Exercícios

1. Bolzano-Cauchy: mostra que a equação x³ + x − 1 = 0 tem pelo menos uma solução em ]0, 1[ e justifica que essa solução é única.

2. Bisseção: aplica o método da bisseção à equação x³ + x − 1 = 0, partindo de [0, 1], e realiza quatro iterações, indicando o intervalo obtido em cada uma.

3. Newton-Raphson: aplica o método de Newton-Raphson à mesma equação, partindo de x₀ = 1, e calcula três iterações (seis casas decimais).

4. Velocidade de convergência: sabendo que a raiz vale aproximadamente 0,6823278038, calcula o erro de cada uma das iterações de Newton-Raphson (notação científica) e explica o que observas nos erros.

5. Outra equação: usa a bisseção para localizar a raiz de cos x = x no intervalo [0, 1] e indica um valor aproximado às seis casas decimais.

6. Com exponencial: localiza a raiz de e^x = 3 − x no intervalo [0, 1] e apresenta-a com seis casas decimais.

7. Três raízes: mostra, pelo teorema dos valores intermédios, que a equação x³ − 4x + 1 = 0 tem três soluções, indicando intervalos de amplitude 1 que as contenham.

8. Interpretação geométrica da bisseção: explica, com um esboço, o que acontece geometricamente em cada iteração do método da bisseção e porque é que o método converge sempre.

9. Interpretação geométrica de Newton-Raphson: explica o significado geométrico de cada iteração do método de Newton-Raphson, relacionando-o com a reta tangente.

10. Comparação dos métodos: compara os dois métodos quanto à rapidez de convergência, às condições exigidas e às situações em que cada um é preferível. Apoia a resposta nos resultados das questões 2, 3 e 4.

11. Justificação: enuncia as hipóteses do teorema dos valores intermédios e explica por que razão cada uma delas é indispensável, dando um exemplo (mesmo que esquemático) de uma função que falha a conclusão por não cumprir uma delas.

12. (Python) O programa seguinte aplica os dois métodos à equação x³ + x − 1 = 0 (20 iterações de bisseção e 4 de Newton-Raphson). Executa-o e indica exatamente o que é impresso, comparando com os resultados das questões 2, 3 e 4.

def f(x): return x ** 3 + x – 1 def df(x): return 3 * x ** 2 + 1 a = 0.0 b = 1.0 for _ in range(20): m = (a + b) / 2 if f(m) < 0: a = m else: b = m print(‘Bissecao:’, round((a + b) / 2, 6)) x = 1.0 for _ in range(4): x = x – f(x) / df(x) print(‘Newton-Raphson:’, round(x, 6))

Soluções — Resolução aproximada de equações

1. Seja g(x) = x³ + x − 1. É uma função polinomial, logo contínua em [0, 1]. Além disso g(0) = −1 < 0 e g(1) = 1 > 0, ou seja g(0) × g(1) < 0. Pelo teorema dos valores intermédios existe pelo menos um c ∈ ]0, 1[ com g(c) = 0. Quanto à unicidade: g'(x) = 3x² + 1 > 0 para todo o x (é uma soma de parcelas não negativas com +1), pelo que g é estritamente crescente em ℝ e, sendo injetiva, não pode anular-se duas vezes — a solução é única.

2. Iterações de bisseção: iteração 1 — [0, 1], ponto médio 0,5, g(0,5) = −0,375 < 0, logo a raiz está em [0,5, 1] · iteração 2 — [0,5, 1], médio 0,75, g(0,75) = 0,171875 > 0, logo [0,5, 0,75] · iteração 3 — [0,5, 0,75], médio 0,625, g(0,625) = −0,130859 < 0, logo [0,625, 0,75] · iteração 4 — [0,625, 0,75], médio 0,6875, g(0,6875) = 0,012451 > 0, logo [0,625, 0,6875]. A raiz está, portanto, em [0,625; 0,6875], um intervalo de largura 0,0625 (= 1/2⁴).

3. Com f(x) = x³ + x − 1 e f'(x) = 3x² + 1, partindo de x₀ = 1: x₁ = 1 − f(1)/f'(1) = 1 − 1/4 = 0,750000 · x₂ = 0,75 − f(0,75)/f'(0,75) = 0,75 − 0,171875/2,6875 = 0,686047 · x₃ = 0,686047 − f(0,686047)/f'(0,686047) ≈ 0,682340. Os valores aproximam-se rapidamente da raiz, cujo valor é ≈ 0,6823278038.

4. Erros relativamente à raiz 0,6823278038: x₁ = 0,750000 → erro 6,767 × 10⁻² · x₂ = 0,686047 → erro 3,719 × 10⁻³ · x₃ = 0,682340 → erro 1,178 × 10⁻⁵ · (uma quarta iteração, x₄ = 0,6823278039, dá erro 1,185 × 10⁻¹⁰). Observa-se que o número de casas decimais corretas quase duplica a cada iteração: 1 casa, 3 casas, 5 casas e depois 10 casas. É esta a razão pela qual se diz que o método de Newton-Raphson tem convergência muito rápida.

5. A equação cos x = x é equivalente a cos x − x = 0. No intervalo [0, 1]: com h(x) = cos x − x, tem-se h(0) = 1 > 0 e h(1) = cos 1 − 1 ≈ −0,4597 < 0, logo existe uma raiz. Aplicando a bisseção até à precisão pedida obtém-se x ≈ 0,739085 (confirmação: cos(0,739085) ≈ 0,739085).

6. e^x = 3 − x equivale a e^x + x − 3 = 0. Com k(x) = e^x + x − 3, tem-se k(0) = 1 + 0 − 3 = −2 < 0 e k(1) = e + 1 − 3 ≈ 0,7183 > 0, logo existe raiz em ]0, 1[. A bisseção (ou o método de Newton) conduz a x ≈ 0,792060 (confirmação: e^0,792060 + 0,792060 ≈ 3).

7. Seja p(x) = x³ − 4x + 1, polinomial e portanto contínua em ℝ. Calculando: p(−3) = −27 + 12 + 1 = −14 < 0 e p(−2) = −8 + 8 + 1 = 1 > 0 ⟹ existe uma raiz em ]−3, −2[; p(0) = 1 > 0 e p(1) = 1 − 4 + 1 = −2 < 0 ⟹ existe uma raiz em ]0, 1[; p(1) = −2 < 0 e p(2) = 8 − 8 + 1 = 1 > 0 ⟹ existe uma raiz em ]1, 2[. Como se trata de três intervalos disjuntos de amplitude 1, a equação tem três soluções (e, sendo um polinómio de grau 3, não pode ter mais do que três).

8. Geometricamente, a bisseção corresponde a ir cortando o intervalo ao meio e escolher sempre a metade onde o gráfico atravessa o eixo Ox — isto é, onde a função muda de sinal. Em cada passo o intervalo que contém a raiz passa a ter metade da largura anterior, pelo que a incerteza sobre o valor da raiz reduz-se para metade em cada iteração. O método converge sempre porque se apoia apenas em duas hipóteses muito fracas — continuidade e mudança de sinal nos extremos — e essas não se perdem ao passar de um intervalo para a sua metade: se f muda de sinal em [a, b], muda necessariamente de sinal numa das duas metades.

9. Em cada iteração de Newton-Raphson traça-se a reta tangente ao gráfico no ponto atual (x_n, f(x_n)) e toma-se como nova estimativa a abcissa do ponto em que essa tangente corta o eixo Ox. Ora a tangente em x_n tem equação y = f(x_n) + f'(x_n)(x − x_n); fazendo y = 0 e resolvendo em ordem a x obtém-se exatamente x = x_n − f(x_n)/f'(x_n), que é a fórmula do método. Geometricamente, quando o gráfico é «suave» e a estimativa está perto da raiz, a tangente «aponta» quase diretamente para ela — daí a convergência muito rápida.

10. Rapidez: pelos resultados das questões 2 a 4, a bisseção precisou de 4 iterações apenas para reduzir o intervalo a 0,0625, enquanto o método de Newton atingiu o erro de 1,178 × 10⁻⁵ logo na terceira iteração — e a largura do intervalo da bisseção só chega a valores da ordem de 10⁻⁵ por volta da décima sétima iteração, e a 10⁻¹⁰ apenas por volta da trigésima. Condições exigidas: a bisseção exige somente continuidade e mudança de sinal; Newton-Raphson exige que f seja derivável, que se conheça f’ e que f'(x_n) ≠ 0, além de precisar de uma estimativa inicial razoável. Preferência: a bisseção é preferível como método seguro de arranque (nunca diverge) e quando não há condições para calcular a derivada; Newton-Raphson é preferível quando a derivada é conhecida e se dispõe de uma boa estimativa inicial, caso em que converge com muito menos iterações.

11. O teorema exige: (i) que f seja contínua em [a, b] e (ii) que f(a) e f(b) tenham sinais contrários. Ambas são indispensáveis. Sem continuidade o gráfico pode «saltar» de um lado para o outro do eixo sem nunca o atravessar — por exemplo, uma função definida por f(x) = −1 em [0; 0,5[ e f(x) = 1 em [0,5; 1] tem f(0) < 0 e f(1) > 0 mas não se anula em nenhum ponto de [0, 1], precisamente porque é descontínua em 0,5. Sem mudança de sinal também nada se pode concluir: em f(x) = x² + 1 tem-se f(0) = 1 e f(1) = 2, ambos positivos, e de facto a função não tem zeros reais — o teorema apenas não se aplica, o que mostra que a condição do sinal não é dispensável.

12. O programa imprime: Bissecao: 0.682328 e Newton-Raphson: 0.682328. A bisseção com 20 iterações reduz o intervalo inicial [0, 1] a uma largura de 1/2²⁰ ≈ 9,5 × 10⁻⁷, dando o ponto médio 0,682328; o método de Newton com apenas 4 iterações chega ao mesmo valor arredondado, porque o seu erro cai de 3,719 × 10⁻³ (iteração 2) para 1,178 × 10⁻⁵ (iteração 3) e para 1,185 × 10⁻¹⁰ (iteração 4). Ambos os métodos concordam com o valor de referência da questão 4 (0,6823278038) — a convergência de dois algoritmos independentes para o mesmo valor é a confirmação mais forte possível do resultado.

Nota: o teorema de Bolzano-Cauchy garante a existência mas não dá o valor da raiz — é por isso que, depois de garantir que a raiz existe e está isolada num intervalo, se usam métodos numéricos (bisseção ou Newton-Raphson) para a aproximar com a precisão pretendida.