Ficha de Matemática — Regras de derivação e regra da cadeia (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre regras de derivação e a regra da cadeia: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre as regras de derivação e a regra da cadeia
• Derivada de potências de expoente racional, incluindo raízes escritas como potências
• Derivada de exponenciais de base a, com o fator ln a
• Derivada de logaritmos de base a
• Teorema da derivada da função composta (regra da cadeia) e o seu enunciado
• Aplicação da regra da cadeia a composições com potências, raízes, exponenciais e logaritmos
• Cadeias com várias camadas, incluindo logaritmo de uma exponencial
• Cálculo de declives de retas tangentes em pontos concretos
• Interpretação do fator da derivada da função de dentro e erro típico de o omitir
• Um programa em Python que confirma numericamente a derivada obtida pela regra da cadeia
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: derivar potências de expoente racional, exponenciais e logaritmos de base arbitrária, identificar as camadas de uma função composta, aplicar a regra da cadeia com fatorização correta pela derivada da função de dentro e calcular declives de retas tangentes em funções compostas.

Conteúdo programático: Funções (Matemática A, 12.º ano): regras de derivação; derivada de x elevado a alfa; derivada de a elevado a x; derivada de logaritmo de base a; teorema da derivada da função composta; regra da cadeia; aplicações ao cálculo de declives.

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Conteúdo completo

Ficha 7 — Regras de derivação e regra da cadeia

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: aplicar as regras de derivação das potências de expoente racional, das exponenciais de base a e dos logaritmos de base a, e usar o teorema da derivada da função composta (regra da cadeia) em composições com potências, raízes, exponenciais e logaritmos.

Revisão rápida — regras de derivação

• Potências de expoente racional: (x^α)’ = α x^α−1, para α racional e x > 0. Exemplos: (√x)’ = (x^1/2)’ = 1/(2√x) e (x^1/3)’ = (1/3)x^−2/3.
• Exponenciais: (a^x)’ = ln a × a^x; em particular (e^x)’ = e^x.
• Logaritmos: (log_a x)’ = 1/(x ln a); em particular (ln x)’ = 1/x.
• Regra da cadeia (derivada da composta): (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x). Deriva-se a função de fora, avaliada na de dentro, e multiplica-se pela derivada da função de dentro.
• Aplicação prática: em h(x) = [u(x)]ⁿ vem h'(x) = n[u(x)]ⁿ⁻¹ × u'(x); em h(x) = e^u(x) vem h'(x) = e^u(x) × u'(x); em h(x) = ln[u(x)] vem h'(x) = u'(x)/u(x).
• Soma e produto por constante: (f + g)’ = f’ + g’ e (k f)’ = k f’, o que permite derivar expressões mais longas termo a termo.

Exercícios

1. Regra da cadeia com potência: determina a derivada de h(x) = (3x − 2)⁵ e calcula h'(1) e h'(2).

2. Cadeia com raiz: determina a derivada de h(x) = √(x² + 1) e calcula h'(1) e h'(0).

3. Potências de expoente racional: determina a derivada e calcula o valor pedido: a) h(x) = √x, em x = 4 · b) h(x) = x^2/3, em x = 8.

4. Exponencial de base a: determina a derivada de f(x) = 5^x e calcula f'(1) (seis casas decimais).

5. Logaritmo de base a: determina a derivada de f(x) = log₂ x e calcula f'(2) (seis casas decimais).

6. Cadeia com exponencial: determina a derivada de h(x) = e^3x e calcula h'(0) e h'(1) (seis casas decimais).

7. Cadeia com logaritmo: determina a derivada de h(x) = ln(x² + 1) e calcula h'(1).

8. Cadeia com expoente variável: determina a derivada de h(x) = e^x² e calcula h'(1) (seis casas decimais).

9. Cadeia dentro de cadeia: determina a derivada de h(x) = ln(e^2x + 1) e calcula h'(0), verificando que o resultado é 1.

10. Raiz de logaritmo: determina a derivada de h(x) = √(ln x) e calcula h'(e) (seis casas decimais). Começa por indicar o domínio de h.

11. Justificação: enuncia a regra da cadeia e explica, com um exemplo, por que razão é indispensável multiplicar pela derivada da função de dentro.

12. (Python) O programa seguinte estima o declive da tangente a h(x) = (3x − 2)⁵ em x = 1 pelo quociente de diferenças e compara-o com o resultado analítico obtido na questão 1. Executa-o e indica exatamente o que é impresso.

def h(x): return (3 * x – 2) ** 5 x = 1 passo = 0.000001 numerica = (h(x + passo) – h(x)) / passo print(‘Derivada numerica:’, round(numerica, 4)) print(‘Derivada analitica:’, 15 * (3 * x – 2) ** 4)

Dica: antes de derivar, identifica sempre as «camadas». Pergunta-te: «qual é a última operação que aplico a x?» — é essa que dá a função de fora. Depois multiplica pelas derivadas sucessivas das camadas interiores, de fora para dentro.

Soluções — Regras de derivação e regra da cadeia

1. Com u(x) = 3x − 2 (logo u'(x) = 3) e a potência de fora elevada a 5: h'(x) = 5(3x − 2)⁴ × 3 = 15(3x − 2)⁴. Em x = 1: h'(1) = 15 × 1⁴ = 15 · em x = 2: h'(2) = 15 × 4⁴ = 15 × 256 = 3 840.

2. Escrevendo h(x) = (x² + 1)^1/2, vem h'(x) = (1/2)(x² + 1)^−1/2 × 2x = x / √(x² + 1). Em x = 1: h'(1) = 1/√2 ≈ 0,707107 · em x = 0: h'(0) = 0/1 = 0 — a tangente é horizontal em x = 0, o que corresponde ao mínimo da função nesse ponto.

3. a) h(x) = x^1/2 ⇒ h'(x) = (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x); em x = 4: h'(4) = 1/(2 × 2) = 1/4 = 0,25 · b) h(x) = x^2/3 ⇒ h'(x) = (2/3)x^−1/3; em x = 8: h'(8) = (2/3) × 8^−1/3 = (2/3) × (1/2) = 1/3.

4. f'(x) = ln 5 × 5^x. Em x = 1: ln 5 × 5 ≈ 1,609438 × 5 = 8,047190.

5. f'(x) = 1/(x ln 2). Em x = 2: 1/(2 × 0,693147) ≈ 0,721348.

6. Com u(x) = 3x (logo u'(x) = 3): h'(x) = e^3x × 3 = 3e^3x. Em x = 0: h'(0) = 3e⁰ = 3 · em x = 1: h'(1) = 3e³ ≈ 60,256611.

7. Com u(x) = x² + 1 (u'(x) = 2x): h'(x) = 2x/(x² + 1). Em x = 1: h'(1) = 2/2 = 1.

8. Com u(x) = x² (u'(x) = 2x): h'(x) = e^x² × 2x = 2x e^x². Em x = 1: h'(1) = 2 × 1 × e¹ = 2e ≈ 5,436564.

9. Com u(x) = e^2x + 1, a derivada da função de dentro é u'(x) = 2e^2x (aplicando de novo a regra da cadeia). Logo h'(x) = u'(x)/u(x) = 2e^2x / (e^2x + 1). Em x = 0: h'(0) = 2e⁰/(e⁰ + 1) = 2/(1 + 1) = 1 ✓ (note-se que a função tende para 2 quando x → +∞, pelo que o declive nunca ultrapassa 2).

10. Domínio: exige-se ln x ≥ 0 para a raiz e x > 0 para o logaritmo, logo x ≥ 1, isto é D = [1, +∞[. Escrevendo h(x) = [ln x]^1/2: h'(x) = (1/2)[ln x]^−1/2 × (1/x) = 1 / (2x √(ln x)). Em x = e: h'(e) = 1/(2e × √1) = 1/(2e) ≈ 0,183940.

11. A regra da cadeia afirma que (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) × g'(x): para derivar uma função composta, deriva-se a função de fora — mas avaliada no valor da de dentro, e não em x — e multiplica-se esse resultado pela derivada da função de dentro. A multiplicação é indispensável porque a variável x só aparece dentro de u(x): se u percorre valores a uma certa velocidade (medida por u’), então f aplicada a u varia à razão de f'(u) vezes essa velocidade. Exemplo: em h(x) = (3x − 2)⁵, se nos esquecêssemos do fator 3 obteríamos 5(3x − 2)⁴, que está errado — com x a aumentar 1 unidade, o interior 3x − 2 aumenta 3, e a potência amplifica essa variação; daí o fator 3 (levando a 15(3x − 2)⁴, como se confirma na questão 12 por via numérica).

12. O programa imprime: Derivada numerica: 15.0001 e Derivada analitica: 15. O primeiro valor obtém-se pelo quociente de diferenças [h(1 + h) − h(1)]/h com h = 0,000001, dando ≈ 15,0001; o segundo é o resultado exato calculado pela regra da cadeia, 15(3 × 1 − 2)⁴ = 15. Os dois valores coincidem até às unidades, e a pequena diferença de 0,0001 é apenas o erro de aproximação do quociente de diferenças — confirmação numérica de que a regra da cadeia produziu a derivada correta.

Nota: a regra da cadeia não substitui as regras anteriores — combina-as. Na mesma expressão pode ser preciso derivar uma potência, um logaritmo e uma exponencial, aplicando a cadeia tantas vezes quantas as camadas da composição.