Ficha de Matemática — Variáveis aleatórias e função massa de probabilidade (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre variáveis aleatórias discretas e f.m.p.: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre variáveis aleatórias discretas e função massa de probabilidade
• Identificação de variáveis aleatórias discretas e contínuas e dos respetivos contradomínios
• Construção da f.m.p. do número de caras em três lançamentos de uma moeda
• Determinação de parâmetros e validação de f.m.p. (soma igual a 1 e valores entre 0 e 1)
• Soma das faces de dois dados, com contagem dos pares favoráveis e cálculo de P(X ≥ 9)
• Número de sucessos em repetições independentes, com coeficientes binomiais
• Função de distribuição F(x) e probabilidades de acontecimentos do tipo P(X ≤ a) ou P(a ≤ X < b)
• Um programa em Python que constrói a f.m.p. da soma de dois dados por contagem
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: identificar o contradomínio de uma variável aleatória discreta, construir e validar funções massa de probabilidade, calcular probabilidades de acontecimentos definidos por uma variável por soma das parcelas adequadas e usar a função de distribuição para obter probabilidades acumuladas.

Conteúdo programático: Probabilidade (Matemática A, 12.º ano): variáveis aleatórias discretas; contradomínio; função massa de probabilidade; validação de uma f.m.p.; probabilidades de acontecimentos; função de distribuição.

Ver todos os recursos de Matemática do 12.º ano →

Conteúdo completo

Ficha 5 — Variáveis aleatórias e função massa de probabilidade

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: identificar variáveis aleatórias e os seus contradomínios, construir e validar funções massa de probabilidade (f.m.p.) de variáveis discretas e calcular probabilidades de acontecimentos definidos por uma variável aleatória.

Revisão rápida — variáveis aleatórias e f.m.p.

• Variável aleatória é uma função que a cada resultado do espaço de resultados S associa um número. É discreta quando o conjunto dos valores possíveis (o contradomínio) é finito ou numerável — por exemplo, o número de caras em três lançamentos.
• Função massa de probabilidade (f.m.p.) de uma variável discreta X: a tabela (ou fórmula) que a cada valor xᵢ do contradomínio associa P(X = xᵢ).
• Condições de validade: cada probabilidade tem de estar entre 0 e 1, e a soma de todos os valores da f.m.p. é 1. Estas duas condições são o teste rápido de uma f.m.p. válida.
• Probabilidades de acontecimentos: P(X ≤ a), P(X > a) ou P(a ≤ X < b) obtêm-se somando as probabilidades pontuais da f.m.p. correspondentes aos valores envolvidos.
• Função de distribuição: F(x) = P(X ≤ x) é a probabilidade acumulada até x, obtida somando a f.m.p. para todos os valores ≤ x.
• Casos típicos: «número de sucessos em n repetições independentes» usa a f.m.p. P(X = k) = ⁿC_k p^k(1 − p)^n−k; «soma das faces de dois dados» constrói-se por contagem dos pares favoráveis (36 pares equiprováveis).

Exercícios

1. Variável aleatória? Indica, em cada caso, se é variável aleatória e se é discreta ou contínua, indicando o contradomínio quando for discreta: a) número de caras em três lançamentos de uma moeda · b) a face obtida no lançamento de um dado · c) o tempo (em horas) até uma lâmpada avariar.

2. Construção: seja X o número de caras em três lançamentos de uma moeda equilibrada. Constrói a f.m.p. de X e confirma que a soma dos valores é 1.

3. Parâmetro: uma variável aleatória X toma os valores 1, 2 e 3, com P(X = 1) = 0,2, P(X = 2) = 0,5 e P(X = 3) = k. Determina k.

4. Probabilidades: com a f.m.p. da questão 3, calcula a) P(X ≤ 2) · b) P(X > 1) · c) P(1 ≤ X < 3).

5. Soma de dois dados: seja X a soma das faces no lançamento de dois dados equilibrados. Calcula a) P(X = 7) · b) P(X ≥ 10).

6. Sucessos em repetições: lança-se um dado equilibrado quatro vezes e seja X o número de vezes que sai a face 6. Calcula a) P(X = 0) · b) P(X = 1), apresentando os valores exatos e aproximados.

7. Fórmula com parâmetro: uma variável X toma os valores 1, 2, 3 e 4, com P(X = i) = k × i. Determina k e escreve a f.m.p.

8. Tabela completa: constrói a f.m.p. da soma das faces de dois dados equilibrados (tabela de X = 2 a X = 12) e usa-a para calcular P(X ≥ 9).

9. Função de distribuição: para X = «número de caras em três lançamentos de uma moeda equilibrada», calcula F(2) = P(X ≤ 2) e interpreta o resultado.

10. Validação: verifica quais das tabelas seguintes são f.m.p. válidas e corrige as que não o forem: a) P(1) = 0,1 · P(2) = 0,2 · P(3) = 0,3 · P(4) = 0,4 · b) P(1) = 0,2 · P(2) = 0,2 · P(3) = 0,2 · P(4) = 0,6

11. Justificação: explica por que razão a soma dos valores de uma f.m.p. tem de ser exatamente 1 e por que razão cada valor tem de estar entre 0 e 1.

12. (Python) O programa seguinte constrói a f.m.p. da soma das faces de dois dados, contando os pares favoráveis. Executa-o e indica exatamente o que é impresso, identificando o valor com maior probabilidade.

from collections import Counter S = [(a, b) for a in range(1, 7) for b in range(1, 7)] somas = [a + b for a, b in S] contagens = Counter(somas) for s in range(2, 13): print(s, ‘->’, contagens[s], ‘->’, round(contagens[s] / 36, 4))

Dica: antes de calcular qualquer probabilidade, escreve o contradomínio da variável e testa a validade da f.m.p. (soma = 1). E repara numa armadilha frequente: o acontecimento «X ≥ 9» não corresponde a três valores, mas sim aos valores 9, 10, 11 e 12 — conta sempre os valores incluídos no extremo indicado.

Soluções — Variáveis aleatórias e f.m.p.

1. a) É variável aleatória discreta, com contradomínio {0, 1, 2, 3} · b) É variável aleatória discreta, com contradomínio {1, 2, 3, 4, 5, 6} · c) É variável aleatória contínua: o tempo pode tomar qualquer valor num intervalo, pelo que não tem contradomínio finito (nem se constrói uma f.m.p., mas sim uma função densidade).

2. Há 2³ = 8 resultados equiprováveis. Os casos favoráveis são dados por ³C_k:

Soma: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1 ✓

3. A soma tem de ser 1: 0,2 + 0,5 + k = 1, logo k = 0,3.

4. a) P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,2 + 0,5 = 0,7 · b) P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,5 + 0,3 = 0,8 · c) P(1 ≤ X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,7 (o 3 está excluído, porque o intervalo é aberto no extremo direito).

5. a) Os pares com soma 7 são (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1): P(X = 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167 · b) P(X ≥ 10) = P(10) + P(11) + P(12) = (3 + 2 + 1)/36 = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167 (10 tem 3 pares, 11 tem 2 e 12 tem 1).

6. Repetições independentes com p = 1/6: a) P(X = 0) = (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0,4823 · b) P(X = 1) = 4 × (1/6) × (5/6)³ = 500/1296 ≈ 0,3858. Os coeficientes 1 e 4 são os coeficientes binomiais ⁴C₀ e ⁴C₁, que contam em quantas posições pode ocorrer o sucesso.

7. A soma das probabilidades é k × 1 + k × 2 + k × 3 + k × 4 = 10k, que tem de ser 1, logo k = 0,1. A f.m.p. é P(X = 1) = 0,1 · P(X = 2) = 0,2 · P(X = 3) = 0,3 · P(X = 4) = 0,4 (soma 1 ✓ e todos os valores entre 0 e 1).

8. A f.m.p. da soma (36 pares equiprováveis) é: P(2) = 1/36 · P(3) = 2/36 · P(4) = 3/36 · P(5) = 4/36 · P(6) = 5/36 · P(7) = 6/36 · P(8) = 5/36 · P(9) = 4/36 · P(10) = 3/36 · P(11) = 2/36 · P(12) = 1/36 (a soma de todos é 36/36 = 1 ✓). Então P(X ≥ 9) = (4 + 3 + 2 + 1)/36 = 10/36 = 5/18 ≈ 0,278.

9. F(2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 = 0,875. Interpretação: em 87,5% das experiências (três lançamentos) saem no máximo duas caras; o complementar, P(X = 3) = 1/8 = 0,125, é a probabilidade de saírem as três caras.

10. a) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 = 1, com todos os valores entre 0 e 1 → é uma f.m.p. válida · b) 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,6 = 1,2 ≠ 1 → não é válida (a soma excede 1). Para a corrigir, é preciso redistribuir os valores de modo a somarem 1 — por exemplo, P(1) = P(2) = P(3) = 0,2 e P(4) = 0,4.

11. Os acontecimentos {X = x₁}, {X = x₂}, … são disjuntos dois a dois (a variável não pode tomar dois valores diferentes no mesmo resultado) e a sua união é todo o espaço de resultados S. Aplicando a aditividade para acontecimentos disjuntos e usando P(S) = 1, conclui-se que a soma de todos os valores da f.m.p. é exatamente 1 — a variável toma forçosamente um dos valores do contradomínio. Quanto a cada valor: P(X = xᵢ) é uma probabilidade de um acontecimento, logo está entre 0 e 1, por definição de modelo de probabilidade.

12. O programa imprime: 2 -> 1 -> 0.0278 · 3 -> 2 -> 0.0556 · 4 -> 3 -> 0.0833 · 5 -> 4 -> 0.1111 · 6 -> 5 -> 0.1389 · 7 -> 6 -> 0.1667 · 8 -> 5 -> 0.1389 · 9 -> 4 -> 0.1111 · 10 -> 3 -> 0.0833 · 11 -> 2 -> 0.0556 · 12 -> 1 -> 0.0278. A soma das contagens é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 ✓ e o valor com maior probabilidade é X = 7 (6/36 ≈ 0,1667) — a distribuição é simétrica em torno de 7, decrescendo para os extremos.

Nota: a f.m.p. descreve completamente uma variável aleatória discreta: a partir dela obtêm-se todas as probabilidades de acontecimentos definidos por X (basta somar as parcelas adequadas) e, nas próximas fichas, o valor médio e o desvio padrão.