Ficha de Matemática — Valor médio e desvio padrão de uma variável aleatória (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre valor médio e desvio padrão: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre o valor médio e o desvio padrão populacional de uma variável aleatória discreta
• Cálculo de mu e sigma a partir da f.m.p., recorrendo a E(X²) e à variância
• Número de caras em três lançamentos e soma das faces de dois dados (variância exata 35/6)
• Número de sucessos em repetições independentes
• Análise de jogos: ganho médio por partida, jogos favoráveis, justos e desfavoráveis
• Preço justo de uma lotaria a partir do ganho médio por bilhete
• Comparação de duas variáveis com o mesmo valor médio e dispersões diferentes
• Paralelismo com a média e o desvio padrão populacional de uma amostra
• Um programa em Python que calcula mu, a variância e sigma a partir de uma f.m.p.
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: calcular o valor médio e o desvio padrão populacional de uma variável aleatória discreta a partir da sua função massa de probabilidade, interpretar esses parâmetros na análise de jogos e decisões, comparar distribuições com o mesmo valor médio e reconhecer o paralelismo entre o cálculo a partir de uma f.m.p. e a partir de uma amostra.

Conteúdo programático: Probabilidade (Matemática A, 12.º ano): valor médio de uma variável aleatória; variância e desvio padrão populacional; interpretação de mu e sigma; aplicações a jogos e decisões; relação com a média e o desvio padrão amostrais.

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Conteúdo completo

Ficha 6 — Valor médio e desvio padrão

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: calcular o valor médio μ e o desvio padrão populacional σ de uma variável aleatória discreta a partir da sua f.m.p., interpretar esses parâmetros na análise de jogos e estabelecer o paralelismo com a média e o desvio padrão de uma amostra.

Revisão rápida — valor médio e desvio padrão

• Valor médio (esperança matemática): μ = E(X) = x₁P(X = x₁) + x₂P(X = x₂) + … — cada valor pesado pela sua probabilidade. Interpreta-se como o valor médio por experiência quando se repete a experiência um grande número de vezes.
• Variância populacional: Var(X) = E(X²) − μ², onde E(X²) = x₁²P(X = x₁) + x₂²P(X = x₂) + … (a soma dos quadrados dos valores pesados pelas probabilidades).
• Desvio padrão populacional: σ = √Var(X). Mede a dispersão dos valores em torno do valor médio, na mesma unidade da variável — ao contrário da variância, que é uma unidade quadrática.
• Paralelismo com uma amostra: a média amostral x̄ = (soma das observações)/n e o desvio padrão amostral populacional σ = √((soma dos quadrados dos desvios)/n) calculam-se pela mesma lógica, com 1/n a fazer o papel das probabilidades — o que corresponde a dar a cada observação a mesma probabilidade 1/n.
• Jogos e decisões: numa aposta, o ganho médio (que se calcula com μ) indica o resultado esperado por jogo. Se o preço a pagar for superior ao ganho médio, o jogo é desfavorável a quem joga; se for igual, é um jogo justo.
• Comparação de variáveis: duas variáveis com o mesmo valor médio podem ter dispersões muito diferentes — σ maior significa resultados mais espalhados (e, tipicamente, mais risco). A variável constante tem σ = 0.

Exercícios

1. Valor médio: para X = «número de caras em três lançamentos de uma moeda equilibrada», com f.m.p. P(0) = P(3) = 1/8 e P(1) = P(2) = 3/8, calcula μ = E(X).

2. Desvio padrão: com os dados da questão 1, calcula E(X²), a variância e o desvio padrão σ (valor exato e aproximado às milésimas).

3. Aplicação direta: para a f.m.p. P(X = 1) = 0,2 · P(X = 2) = 0,5 · P(X = 3) = 0,3, calcula μ e σ.

4. Soma de dois dados: para X = «soma das faces de dois dados equilibrados», calcula μ e σ, indicando o valor exato da variância e o desvio padrão aproximado às milésimas.

5. Repetições independentes: para X = «número de vezes que sai a face 6 em quatro lançamentos de um dado equilibrado», calcula μ e σ.

6. Fórmula com parâmetro: para a f.m.p. P(X = i) = 0,1 × i, com i = 1, 2, 3, 4, calcula μ, a variância e σ.

7. Jogo: num jogo paga-se 2 € para participar e recebe-se 10 € com probabilidade 0,1, 2 € com probabilidade 0,3 e nada com probabilidade 0,6. Calcula o ganho médio por partida e decide se o jogo é favorável a quem joga.

8. Preço justo: numa lotaria vendem-se 1000 bilhetes; há 1 prémio de 500 € e 5 prémios de 50 €. Calcula o ganho médio por bilhete e o preço que tornaria a lotaria um jogo justo.

9. Mesmo valor médio, dispersões diferentes: a variável X toma sempre o valor 3 (P(X = 3) = 1); a variável Y toma os valores 1 e 5, cada um com probabilidade 0,5. Calcula μ e σ das duas e interpreta a diferença.

10. Paralelismo com uma amostra: considera as observações 2, 4, 4, 6 e 9. Calcula a média e o desvio padrão populacional e explica a analogia com o cálculo feito a partir de uma f.m.p.

11. Justificação: explica o significado de μ e de σ e justifica por que razão o desvio padrão é, em geral, mais utilizado do que a variância.

12. (Python) O programa seguinte calcula o valor médio, a variância e o desvio padrão a partir de uma f.m.p. Executa-o e indica exatamente o que é impresso, comentando o valor obtido para o valor médio.

valores = [1, 2, 3] probs = [0.2, 0.5, 0.3] media = sum(v * p for v, p in zip(valores, probs)) variancia = sum(p * (v – media) ** 2 for v, p in zip(valores, probs)) print(‘Valor medio:’, media) print(‘Variancia:’, variancia) print(‘Desvio padrao:’, variancia ** 0.5)

Dica: organização é tudo neste tema. Constrói sempre uma tabela com três colunas — valores xᵢ, probabilidades P(X = xᵢ) e produtos xᵢ²P(X = xᵢ) — e só no fim somes. Erros de arrasto aparecem quase sempre por somar parcelas em falta, pelo que vale a pena confirmar primeiro que a f.m.p. soma 1.

Soluções — Valor médio e desvio padrão

1. μ = 0 × 1/8 + 1 × 3/8 + 2 × 3/8 + 3 × 1/8 = 0 + 3/8 + 6/8 + 3/8 = 12/8 = 1,5. Em média, saem 1,5 caras por experiência de três lançamentos.

2. E(X²) = 0 × 1/8 + 1 × 3/8 + 4 × 3/8 + 9 × 1/8 = 0 + 3/8 + 12/8 + 9/8 = 24/8 = 3. Variância: Var(X) = 3 − 1,5² = 3 − 2,25 = 0,75. Desvio padrão: σ = √0,75 = √3/2 ≈ 0,866.

3. μ = 1 × 0,2 + 2 × 0,5 + 3 × 0,3 = 0,2 + 1,0 + 0,9 = 2,1. E(X²) = 1 × 0,2 + 4 × 0,5 + 9 × 0,3 = 0,2 + 2,0 + 2,7 = 4,9, logo Var(X) = 4,9 − 2,1² = 4,9 − 4,41 = 0,49 e σ = 0,7.

4. A distribuição é simétrica em torno de 7, logo μ = 7. Para a variância, cada soma s contribui com (s − 7)² ponderado pela sua probabilidade: os desvios ao quadrado 25, 16, 9, 4, 1 e 0 (e simetricamente 1, 4, 9, 16 e 25) entram com contagens 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A soma dos numeradores é 25 × 1 + 16 × 2 + 9 × 3 + 4 × 4 + 1 × 5 + 0 × 6, duplicada para os valores acima de 7, ou seja 210. Assim Var(X) = 210/36 = 35/6 ≈ 5,833 e σ = √(35/6) ≈ 2,415.

5. Trata-se de quatro repetições independentes com p = 1/6, e nesses casos μ = 4 × 1/6 = 2/3 ≈ 0,667. Quanto à dispersão, Var(X) = 4 × (1/6) × (5/6) = 20/36 = 5/9 ≈ 0,556, logo σ = √(5/9) ≈ 0,745.

6. μ = 1 × 0,1 + 2 × 0,2 + 3 × 0,3 + 4 × 0,4 = 0,1 + 0,4 + 0,9 + 1,6 = 3. E(X²) = 1 × 0,1 + 4 × 0,2 + 9 × 0,3 + 16 × 0,4 = 0,1 + 0,8 + 2,7 + 6,4 = 10, logo Var(X) = 10 − 3² = 1 e σ = 1.

7. Ganho médio (ignorando o preço de entrada): 10 × 0,1 + 2 × 0,3 + 0 × 0,6 = 1,0 + 0,6 + 0 = 1,6 € por partida. Como o ganho médio bruto (1,6 €) é inferior ao preço de participação (2 €), o jogo é desfavorável a quem joga: em média perde-se 0,40 € por partida. O preço que tornaria o jogo justo seria 1,60 €.

8. O ganho médio por bilhete é (1 × 500 + 5 × 50)/1000 = 750/1000 = 0,75 €. Um preço de 0,75 € por bilhete tornaria a lotaria um jogo justo; a preços superiores, o ganho médio do jogador é negativo.

9. Para X: μ = 3 e, como não há dispersão nenhuma, σ = 0 (a variável é constante). Para Y: μ = 1 × 0,5 + 5 × 0,5 = 3 (o mesmo valor médio), E(Y²) = 1 × 0,5 + 25 × 0,5 = 13, Var(Y) = 13 − 9 = 4 e σ = 2. Interpretação: ambas «acertam» em média no valor 3, mas Y oscila entre 1 e 5 enquanto X nunca se afasta de 3. Um σ maior significa resultados mais espalhados — e, em contexto de apostas, maior risco.

10. Média: x̄ = (2 + 4 + 4 + 6 + 9)/5 = 25/5 = 5. Média dos quadrados: (4 + 16 + 16 + 36 + 81)/5 = 153/5 = 30,6, logo Var = 30,6 − 25 = 5,6 e σ = √5,6 ≈ 2,366. A analogia é exata: a média amostral é a soma dos valores multiplicados por 1/n e o valor médio de uma variável é a soma dos valores multiplicados pelas suas probabilidades. Do mesmo modo, E(X²) tem o papel de «média dos quadrados» — pelo que, no caso da amostra, se está a dar a cada observação a probabilidade 1/n.

11. O valor médio μ é o valor que se espera obter, em média, por experiência, quando o número de repetições é grande — é o «centro de gravidade» da distribuição, ponderado pelas probabilidades. O desvio padrão σ mede a dispersão em torno desse centro: valores típicos de σ pequeno indicam resultados agrupados perto de μ, e σ grande indica resultados espalhados. O desvio padrão é mais utilizado porque está na mesma unidade da variável (por exemplo, «caras» ou «euros»), enquanto a variância, sendo um quadrado, se expressa em unidades quadráticas e é por isso de interpretação mais difícil.

12. O programa imprime: Valor medio: 2.0999999999999996 · Variancia: 0.49 · Desvio padrao: 0.7. Os valores coincidem exatamente com os da questão 3 (μ = 2,1 · Var = 0,49 · σ = 0,7). Quanto ao valor médio, o número impresso não é 2,1 com um erro de cálculo: deve-se à forma como os computadores representam os números decimais em vírgula flutuante (binário), pelo que 2,1 surge como 2.0999999999999996 — a diferença está na décima sexta casa decimal e é um artefacto de representação, não um erro matemático.

Nota: em problemas de jogos, começa sempre por calcular o ganho médio e só depois o compare com o custo de participação: é essa comparação — e não a probabilidade de ganhar — que determina se o jogo é favorável, justo ou desfavorável.