Ficha de Matemática — Probabilidade: regras e regra de Laplace (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre as regras da probabilidade e a regra de Laplace: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre regras da probabilidade e espaços equiprováveis
• Regra de Laplace aplicada a dados e a baralhos de 52 cartas
• Aditividade para acontecimentos disjuntos e regra geral P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Determinação de probabilidades desconhecidas a partir da regra da união
• Diagramas de Venn e tabelas de dupla entrada em problemas reais
• Frequência relativa como estimativa da probabilidade e teste de coerência de valores dados
• Simulação em Python de 1 000 lançamentos, com saída determinística via random.seed
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: aplicar a regra de Laplace em espaços equiprováveis, usar corretamente a regra geral da união e a aditividade, organizar informação com Venn e tabelas, resolver problemas inversos e interpretar frequências relativas como aproximações da probabilidade.

Conteúdo programático: Probabilidade (Matemática A, 12.º ano): regras da probabilidade; regra de Laplace; aditividade e regra geral da união; acontecimentos disjuntos; diagramas de Venn e tabelas de dupla entrada; interpretação frequencista.

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Conteúdo completo

Ficha 2 — Probabilidade: regras e regra de Laplace

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: aplicar a regra de Laplace em espaços equiprováveis, usar a regra geral P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e a aditividade para acontecimentos disjuntos, organizar dados com diagramas de Venn e tabelas, e interpretar a frequência relativa como estimativa da probabilidade.

Revisão rápida — regras da probabilidade

• Regra de Laplace (só em espaços equiprováveis): P(A) = |A| / |S|, isto é, casos favoráveis a dividir por casos possíveis.
• Aditividade (acontecimentos disjuntos): se A ∩ B = ∅, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — não há nada a descontar.
• Regra geral da união: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Subtrai-se a interseção porque os seus resultados seriam contados duas vezes.
• Consequências: P(Ā) = 1 − P(A) · P(∅) = 0 · P(S) = 1 · se A ⊂ B então P(A) ≤ P(B) · 0 ≤ P(A) ≤ 1. Em particular, nenhuma probabilidade pode passar de 1 — é um teste rápido de coerência.
• Venn e tabelas: organizam os casos em «só A», «só B», «ambos» e «nem um nem outro»; essas quatro parcelas somam sempre o total de casos.
• Interpretação frequencista: a frequência relativa (n.º de vezes que o acontecimento ocorreu a dividir pelo n.º de repetições) aproxima-se da probabilidade à medida que o número de repetições aumenta.

Exercícios

1. Regra de Laplace: lança-se um dado cúbico equilibrado. Calcula a) P(número par) · b) P(número maior que 4)

2. Baralho: de um baralho de 52 cartas retira-se uma ao acaso. Calcula a) P(ás) · b) P(copas) · c) P(ás de copas)

3. União: no espaço S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} considera A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Calcula P(A ∪ B) pela regra geral e confirma o resultado por contagem direta.

4. Aplicação: no lançamento de um dado, com A = «sair número par» e B = «sair número maior que 4», calcula P(A ∪ B).

5. Disjuntos: com A = {1, 2} e B = {5, 6}, calcula P(A ∪ B) e explica por que razão, neste caso, não se subtrai nada.

6. Contrário e incógnita: a) se P(A) = 0,35, calcula P(Ā) · b) se P(A ∪ B) = 0,9, P(A) = 0,5 e P(A ∩ B) = 0,2, determina P(B).

7. Tabela e Venn: numa turma de 30 alunos, 18 jogam futebol, 12 praticam natação e 5 praticam as duas modalidades. Calcula a) P(futebol ou natação) · b) P(pratica só futebol) · c) P(não pratica nenhuma das modalidades).

8. Frequência relativa: um dado foi lançado 1 000 vezes e saiu a face 1 em 320 desses lançamentos. Calcula a frequência relativa dessa face e interpreta o valor obtido, comparando-o com 1/6.

9. Cálculo direto: sabendo que P(A) = 0,6, P(B) = 0,5 e P(A ∩ B) = 0,3, calcula P(A ∪ B) e verifica que o resultado é compatível com 0 ≤ P ≤ 1.

10. Coerência: mostra que não é possível ter, ao mesmo tempo, P(A) = 0,7, P(B) = 0,4 e A e B disjuntos.

11. Justificação: explica por que razão, na regra P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), se subtrai a probabilidade da interseção.

12. (Python) O programa seguinte simula 1 000 lançamentos de um dado e calcula a frequência relativa de cada face. Executa-o e indica exatamente o que é impresso.

import random random.seed(0) n = 1000 contagens = [0] * 6 for _ in range(n): face = random.randint(1, 6) contagens[face – 1] += 1 for i, c in enumerate(contagens, start=1): print(i, ‘->’, c, ‘->’, round(c / n, 3))

Dica: a regra de Laplace só vale em espaços equiprováveis — nunca a uses com um dado viciado. E antes de somar probabilidades, verifica sempre se os acontecimentos são disjuntos: se não forem, a interseção tem de ser descontada uma vez.

Soluções — Regras e regra de Laplace

1. a) A = {2, 4, 6} → P = 3/6 = 1/2 · b) B = {5, 6} → P = 2/6 = 1/3. Em ambos os casos se aplicou a regra de Laplace, possível porque o dado é equilibrado.

2. a) P(ás) = 4/52 = 1/13 · b) P(copas) = 13/52 = 1/4 · c) P(ás de copas) = 1/52, porque há exatamente uma carta que é simultaneamente ás e de copas.

3. P(A) = 3/6, P(B) = 2/6 e P(A ∩ B) = P({3}) = 1/6. Regra geral: P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Contagem direta: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, logo P = 4/6 = 2/3 ✓

4. A = {2, 4, 6} e B = {5, 6}, com A ∩ B = {6}. Então P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Confirmação: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, que tem 4 elementos.

5. A ∩ B = ∅, logo os acontecimentos são disjuntos e aplica-se a aditividade: P(A ∪ B) = 2/6 + 2/6 = 4/6 = 2/3. Não se subtrai nada porque não há nenhum resultado comum — a interseção é vazia e a sua probabilidade é 0.

6. a) P(Ā) = 1 − 0,35 = 0,65 · b) pela regra geral tem-se P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), donde P(B) = 0,9 − 0,5 + 0,2 = 0,6. Verificação: 0,5 + 0,6 − 0,2 = 0,9 ✓

7. Organizando: só futebol = 18 − 5 = 13; só natação = 12 − 5 = 7; ambas = 5; nenhuma = 30 − 25 = 5. a) P(futebol ou natação) = 25/30 = 5/6 (≈ 0,833) · b) P(só futebol) = 13/30 · c) P(nenhuma) = 5/30 = 1/6. A soma das quatro parcelas é 13 + 7 + 5 + 5 = 30 ✓

8. Frequência relativa = 320/1000 = 0,32 (32%). Este valor está bastante acima de 1/6 ≈ 0,167, o que sugere que o dado não é equilibrado para essa face. A frequência relativa estima a probabilidade do acontecimento: quanto mais lançamentos se fizerem, mais o valor tende a estabilizar perto da probabilidade real.

9. P(A ∪ B) = 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8. O resultado é compatível: está entre 0 e 1, e é maior do que cada uma das probabilidades individuais (como se exige a uma união).

10. Se A e B fossem disjuntos, ter-se-ia P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,4 = 1,1. Ora 1,1 > 1, o que é impossível: nenhuma probabilidade pode exceder 1. Logo não é possível que A e B sejam disjuntos com esses valores — terá de existir interseção não vazia (concretamente, P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) − 1 = 0,1).

11. Se somássemos simplesmente P(A) + P(B), os resultados que pertencem a ambos os acontecimentos (isto é, a A ∩ B) seriam contados duas vezes: uma em P(A) e outra em P(B). Para obter a probabilidade da união, que conta cada resultado exatamente uma vez, é preciso descontar uma dessas contagens — e é precisamente isso que faz o termo − P(A ∩ B). Quando a interseção é vazia a correção é 0, e a regra reduz-se à aditividade.

12. Com seed 0 o programa imprime: 1 -> 193 -> 0.193 · 2 -> 150 -> 0.15 · 3 -> 166 -> 0.166 · 4 -> 170 -> 0.17 · 5 -> 152 -> 0.152 · 6 -> 169 -> 0.169. A soma das contagens é 193 + 150 + 166 + 170 + 152 + 169 = 1 000 ✓ e as frequências relativas andam todas perto de 1/6 ≈ 0,167, como seria de esperar de um dado equilibrado. Repara que o Python não escreve zeros à direita: 0,15 e 0,17 aparecem sem a última casa decimal.

Nota: o programa começa com random.seed(0) para que a simulação dê sempre o mesmo resultado — sem essa linha, a saída mudava a cada execução, o que impediria comparar o teu resultado com o das soluções.