Ficha de Matemática — Propriedades das primitivas e combinações lineares (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre a linearidade das primitivas: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre as propriedades das primitivas
• Propriedade do fator constante: ∫k·f(x) dx = k·∫f(x) dx
• Propriedade da soma: ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx
• Primitivação termo a termo de combinações lineares
• Justificação das propriedades a partir da linearidade da derivada
• Uso de uma única constante de integração
• Primitivas de potências de expoente negativo (1/x²)
• Determinação da constante a partir de uma condição inicial
• Justificação, com contraexemplo, de que a linearidade não se estende ao produto
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: aplicar a linearidade da primitivação, primitivar somas e múltiplos constantes de funções da tabela imediata, determinar primitivas de combinações lineares, fixar a constante por uma condição inicial e distinguir as operações a que a linearidade se aplica das que não se aplicam.

Conteúdo programático: Primitivas e integrais (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): propriedades das primitivas; combinações lineares.

Ver todos os recursos de Matemática do 12.º ano →

Conteúdo completo

Ficha 2 — Propriedades das primitivas e combinações lineares

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: aplicar a linearidade da primitivação para determinar primitivas de somas e de múltiplos de funções da tabela imediata, e usar uma condição inicial para escolher uma primitiva concreta.

Revisão rápida — linearidade da primitivação

• Fator constante: ∫k · f(x) dx = k · ∫f(x) dx, para qualquer constante k. Um fator constante pode sair para fora do integral.
• Soma: ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx. Uma primitiva de uma soma é a soma das primitivas — primitiva-se termo a termo.
• Destas duas propriedades resulta a linearidade: ∫[a·f(x) + b·g(x)] dx = a·∫f(x) dx + b·∫g(x) dx, com a, b constantes.
• Uma só constante. Ao primitivar termo a termo, cada parcela «traria» a sua constante, mas todas se agrupam numa única constante C. Escrever várias constantes é erro de notação.
• Porquê: estas propriedades resultam de a derivação ser linear — (kf)′ = kf′ e (f + g)′ = f′ + g′. Como a primitivação é o processo inverso, herda a mesma estrutura.
• Atenção: a linearidade não se estende ao produto nem ao quociente: ∫[f(x)·g(x)] dx não é, em geral, igual a ∫f(x) dx · ∫g(x) dx.

Exercícios

1. Justifica, recorrendo à derivada, por que razão um fator constante pode sair para fora do integral: ∫3f(x) dx = 3∫f(x) dx.

2. Determina ∫(5x³ + 2x − 1) dx aplicando a linearidade termo a termo.

3. Determina ∫(4 cos x − 3 sen x) dx. Cuidado com os sinais.

4. Determina ∫(6x⁵ − 2/x + eˣ) dx, definida para x > 0.

5. Determina ∫(x³ − 2x + 7) dx e explica porque é que se escreve apenas uma constante C, embora se tenham primitivado três parcelas.

6. Determina ∫(eˣ/2) dx e ∫(3/x) dx, x > 0, comentando a diferente forma de tratamento do fator constante.

7. Determina a primitiva de f(x) = 4x³ − 6x que satisfaz F(1) = 5.

8. Determina ∫(2/x + 5eˣ) dx, para x > 0, e conclui se a primitiva obtida é correta, derivando-a.

9. Determina ∫(x² + 1/x²) dx, para x ≠ 0. Sugestão: escreve 1/x² como potência de expoente negativo.

10. Verifica, por derivação, se F(x) = x⁴/4 − x² + 7x é uma primitiva de f(x) = x³ − 2x + 7.

11. Determina a primitiva de f(x) = 2/x + 5eˣ − 3x², com x > 0, que satisfaz F(1) = 5e.

12. Justificação: explica por que razão a propriedade ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx é válida, e mostra com um exemplo que uma propriedade análoga para o produto seria falsa.

Soluções — Propriedades das primitivas

1. Seja G uma primitiva de f, isto é, G′ = f. Considera-se H(x) = 3G(x). Pela regra da derivada do produto por uma constante, H′(x) = 3G′(x) = 3f(x) — logo H é uma primitiva de 3f. Assim ∫3f(x) dx = 3G(x) + C = 3∫f(x) dx. A propriedade resulta diretamente de a derivada «deixar sair» o fator constante: (kG)′ = kG′.

2. Primitivando termo a termo: ∫(5x³ + 2x − 1) dx = 5 · x⁴/4 + 2 · x²/2 − 1 · x + C = 5x⁴/4 + x² − x + C. Verificação: a derivada é 5x³ + 2x − 1 ✓.

3. ∫(4 cos x − 3 sen x) dx = 4 sen x − 3(−cos x) + C = 4 sen x + 3 cos x + C. O sinal é a armadilha: a primitiva de sen x é −cos x, pelo que o termo −3 sen x contribui +3 cos x. Verificação: (4 sen x + 3 cos x)′ = 4 cos x − 3 sen x ✓.

4. ∫(6x⁵ − 2/x + eˣ) dx = 6 · x⁶/6 − 2 ln x + eˣ + C = x⁶ − 2 ln x + eˣ + C (para x > 0, ln |x| = ln x). Verificação: (x⁶ − 2 ln x + eˣ)′ = 6x⁵ − 2/x + eˣ ✓.

5. ∫(x³ − 2x + 7) dx = x⁴/4 − 2 · x²/2 + 7x + C = x⁴/4 − x² + 7x + C. Escreve-se uma só constante C — e não C₁ + C₂ + C₃ — porque a soma de constantes arbitrárias é ainda uma constante arbitrária: C₁ + C₂ + C₃ = C. Como o que se procura é «a família das primitivas», basta representá-la com um único parâmetro.

6. ∫(eˣ/2) dx = (1/2)∫eˣ dx = eˣ/2 + C (o fator constante 1/2 sai do integral). ∫(3/x) dx = 3∫(1/x) dx = 3 ln x + C, para x > 0. Em ambos os casos aplicou-se a mesma propriedade — o fator constante sai — embora num caso multiplique uma exponencial e no outro o inverso de x.

7. A família das primitivas é ∫(4x³ − 6x) dx = 4 · x⁴/4 − 6 · x²/2 + C = x⁴ − 3x² + C. Impondo F(1) = 5: 1⁴ − 3 × 1² + C = 1 − 3 + C = −2 + C = 5, donde C = 7. Logo F(x) = x⁴ − 3x² + 7. Verificação: F′(x) = 4x³ − 6x ✓ e F(1) = 1 − 3 + 7 = 5 ✓.

8. ∫(2/x + 5eˣ) dx = 2 ln x + 5eˣ + C (para x > 0). Verificação por derivação: (2 ln x + 5eˣ + C)′ = 2/x + 5eˣ ✓ — obtém-se exatamente a função inicial, logo a primitiva está correta.

9. Escreve-se 1/x² = x⁻². Com n = −2 (n ≠ −1): ∫x⁻² dx = x⁻¹/(−1) + C = −1/x + C. Logo ∫(x² + 1/x²) dx = x³/3 + (−1/x) + C = x³/3 − 1/x + C, para x ≠ 0. Verificação: (x³/3 − 1/x)′ = x² − (−1/x²) = x² + 1/x² ✓. Note-se o duplo sinal: o expoente passa a −1 (dividindo por −1) e, ao derivar, o −1/x volta a dar +1/x².

10. Derivando F: F′(x) = 4x³/4 − 2x + 7 = x³ − 2x + 7, que é exatamente f(x). Sim, F é primitiva de f. (Repare-se que F poderia ser escrita como x⁴/4 − x² + 7x + 0, ou seja, é a primitiva desta função com a constante C = 0.)

11. A família das primitivas é 2 ln x + 5eˣ − 3 · x³/3 + C = 2 ln x + 5eˣ − x³ + C. Impondo F(1) = 5e: 2 ln 1 + 5e¹ − 1³ + C = 0 + 5e − 1 + C = 5e, donde C = 1. Logo F(x) = 2 ln x + 5eˣ − x³ + 1. Verificação: F′(x) = 2/x + 5eˣ − 3x² ✓ e F(1) = 0 + 5e − 1 + 1 = 5e ✓.

12. A propriedade da soma é válida porque a derivada é linear: se F é primitiva de f e G é primitiva de g, então (F + G)′ = F′ + G′ = f + g, pelo que F + G é uma primitiva de f + g — e por isso ∫(f + g) = ∫f + ∫g. Para o produto a propriedade análoga seria falsa: toma-se f(x) = x e g(x) = x. Então ∫f(x) dx · ∫g(x) dx = (x²/2) · (x²/2) = x⁴/4, cuja derivada é x³; mas o produto é f(x)g(x) = x², cuja primitiva é x³/3. Como x⁴/4 e x³/3 não diferem por uma constante, x⁴/4 não é primitiva de x² — o «produto de primitivas» não é a primitiva do produto. A razão de fundo é que (F·G)′ = F′G + FG′ ≠ F′G′, ou seja, a derivada do produto «mistura» as duas funções.

Nota: a linearidade é o que permite primitivar qualquer combinação linear das seis funções da tabela imediata — é a ferramenta mais usada desta unidade. Mas só para somas e múltiplos constantes: nunca a estendas a produtos ou quocientes.