Ficha de Matemática — Problemas de otimização (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre problemas de otimização: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios de otimização com funções deriváveis em contexto real
• Modelação de uma situação por uma função de uma só variável
• Restrição do domínio ao contexto do problema (comprimentos positivos e capacidade da caixa)
• Determinação de máximos e mínimos a partir dos zeros da derivada
• Confirmação da natureza do extremo pelo sinal da derivada e pela comparação com valores vizinhos
• Perímetro fixo: maximização de área e reconhecimento do quadrado como ótimo
• Caixa sem tampa obtida de uma folha quadrada: maximização do volume
• Vedação com muro e vedações em três lados com quantidades de rede diferentes
• Lucro como diferença entre receita e custo e minimização de custo médio
• Soma fixa com minimização da soma dos quadrados e retângulo de diagonal fixa
• Máximo do produto de uma função por uma exponencial
• Um programa em Python que localiza numericamente o máximo do volume e compara-o com o resultado analítico
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: traduzir enunciados de contexto real em funções de uma variável, impor e respeitar restrições de domínio, aplicar a derivada à procura de extremos, justificar a natureza do extremo pelo sinal da derivada ou por valores vizinhos e interpretar criticamente os resultados obtidos à luz do problema.

Conteúdo programático: Funções (Matemática A, 12.º ano): problemas de otimização; modelação matemática em contexto real; restrição do domínio; zeros da derivada; extremos de uma função derivável; confirmação da natureza dos extremos; aplicações a áreas, volumes, custos e lucros.

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Conteúdo completo

Ficha 9 — Problemas de otimização

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: modelar situações reais por meio de uma função, restringir o domínio ao contexto do problema, localizar o máximo ou o mínimo com o auxílio da derivada e confirmar a natureza do extremo pelo sinal da derivada ou pela comparação com valores vizinhos.

Revisão rápida — método de otimização

• 1. Modelar: identificar a quantidade a otimizar (área, volume, custo, lucro) e exprimi-la em função de uma só variável, usando as restrições do enunciado para eliminar as outras.
• 2. Restringir o domínio: a variável tem de respeitar o contexto (comprimentos positivos, capacidade da caixa, número de unidades). O domínio é habitualmente um intervalo fechado ou semiaberto.
• 3. Derivar e resolver: calcula-se f'(x) e resolvem-se os zeros de f’ — são os candidatos a extremo.
• 4. Confirmar a natureza: estuda-se o sinal de f’ (positiva antes e negativa depois de x₀ ⟹ máximo; negativa antes e positiva depois ⟹ mínimo) ou compara-se com valores vizinhos.
• Não esquecer os extremos do intervalo: num intervalo fechado [a, b], o máximo ou mínimo pode ocorrer em a ou em b, mesmo quando a derivada não se anula aí.
• Fórmulas frequentes: perímetro do retângulo 2x + 2y; área x × y; volume da caixa aberta x(comprimento − 2x)²; área de um retângulo de diagonal fixa d, x√(d² − x²).

Exercícios

1. Perímetro fixo: um retângulo tem perímetro 20 cm. Escreve a sua área em função de um dos lados, indica o domínio e determina as dimensões que a maximizam e o valor dessa área máxima.

2. Caixa sem tampa: de uma folha quadrada de cartão com 18 cm de lado cortam-se, em cada canto, quadrados de lado x e dobram-se as abas, obtendo-se uma caixa aberta. Escreve o volume em função de x, indica o domínio e determina o valor de x que maximiza o volume e o volume máximo.

3. Vedação com muro: pretende-se vedar uma horta retangular aproveitando um muro já existente num dos lados, com 100 m de rede disponíveis. Escreve a área em função do lado paralelo ao muro, indica o domínio e determina as dimensões de área máxima.

4. Soma fixa: dois números positivos têm soma 20. Mostra que a soma dos seus quadrados é mínima quando são iguais e indica o valor mínimo.

5. Lucro: uma empresa tem receita R(x) = 100x − x² e custo C(x) = 20x + 100 (em euros, para x unidades produzidas). Escreve o lucro em função de x e determina o número de unidades que o maximiza e o lucro máximo.

6. Diagonal fixa: um retângulo tem diagonal 10 cm. Escreve a área em função da base, indica o domínio e mostra que a área máxima corresponde a um quadrado, calculando esse valor.

7. Custo médio: o custo médio por unidade é dado por C(x) = x + 400/x, para x > 0. Determina o valor de x que minimiza o custo médio e o valor desse custo mínimo, confirmando com valores vizinhos.

8. Função racional: considera f(x) = x² + 4/x, com x > 0. Determina o valor de x que minimiza f e o valor mínimo (seis casas decimais), confirmando com valores vizinhos.

9. Produto por exponencial: determina o máximo da função f(x) = x e^−x para x ≥ 0, indicando o ponto e o valor máximo (seis casas decimais).

10. Vedação em três lados: com 60 m de rede vedam-se três lados de um terreno retangular (o quarto lado é um rio). Determina as dimensões de área máxima e o valor dessa área.

11. Justificação: descreve, por palavras tuas, os quatro passos do método de otimização e explica por que razão é indispensável estudar o sinal da derivada (ou comparar com valores vizinhos) depois de encontrar os seus zeros.

12. (Python) O programa seguinte procura numericamente o máximo do volume da caixa da questão 2, calculando V(x) = x(18 − 2x)² para valores de x de milésimo em milésimo. Executa-o e indica exatamente o que é impresso, comparando com o resultado analítico.

melhor_x = 0 melhor_v = 0 x = 0.0 while x <= 9: v = x * (18 – 2 * x) ** 2 if v > melhor_v: melhor_v = v melhor_x = x x += 0.001 print(‘Melhor x:’, round(melhor_x, 3)) print(‘Volume maximo:’, round(melhor_v, 3))

Dica: antes de derivar, reduza sempre o problema a uma única variável e escreva o domínio. A maior parte dos erros em otimização não vem do cálculo da derivada, mas de esquecer a restrição do contexto — por exemplo, aceitar um x que daria um lado de comprimento negativo.

Soluções — Problemas de otimização

1. Sendo x um dos lados, o outro é 10 − x, logo A(x) = x(10 − x), com D = ]0, 10[. A'(x) = 10 − 2x = 0 ⟹ x = 5. Como A é uma parábola voltada para baixo (A’ positiva antes de 5 e negativa depois), x = 5 é maximizante. Dimensões: 5 cm × 5 cm (um quadrado), com área máxima 25 cm² (confirmação: A(4) = 24 e A(6) = 24, ambos menores).

2. Ao cortar quadrados de lado x e dobrar, a base fica com 18 − 2x de lado e a altura é x, logo V(x) = x(18 − 2x)², com D = ]0, 9[ (é preciso 2x < 18). Derivando: V'(x) = (18 − 2x)² + x × 2(18 − 2x)(−2) = (18 − 2x)[(18 − 2x) − 4x] = (18 − 2x)(18 − 6x). Os zeros são x = 9 (que não pertence ao domínio, pois anula a base) e x = 3. Logo x = 3 cm, dando aresta da base 18 − 6 = 12 cm e volume V(3) = 3 × 12² = 432 cm³ (confirmado numericamente na questão 12).

3. Com o lado paralelo ao muro medindo x, os dois lados perpendiculares medem (100 − x)/2 cada, logo A(x) = x(100 − x)/2, com D = ]0, 100[. A'(x) = (100 − 2x)/2 = 0 ⟹ x = 50. Dimensões: 50 m (lado paralelo ao muro) × 25 m, com área máxima de 1 250 m².

4. Sendo um número x e o outro 20 − x, S(x) = x² + (20 − x)² = 2x² − 40x + 400, com D = ]0, 20[. S'(x) = 4x − 40 = 0 ⟹ x = 10. Logo os dois números são iguais a 10 e o mínimo é S(10) = 100 + 100 = 200. (Justificação da natureza do extremo sem recorrer a derivadas de ordem superior: S(x) = 2x² − 40x + 400 é uma parábola com o coeficiente de x² positivo, logo tem a concavidade voltada para cima e o seu vértice — que está em x = 10 — é um ponto de mínimo.)

5. Lucro = Receita − Custo: P(x) = (100x − x²) − (20x + 100) = −x² + 80x − 100. P'(x) = −2x + 80 = 0 ⟹ x = 40. Como a parábola tem a concavidade voltada para baixo, trata-se de um máximo: 40 unidades, com lucro P(40) = −1 600 + 3 200 − 100 = 1 500 € (confirmação: P(39) = P(41) = 1 499 €, ambos menores).

6. Com base x e altura y tais que x² + y² = 100, tem-se y = √(100 − x²) e A(x) = x√(100 − x²), com D = ]0, 10[. Derivando: A'(x) = √(100 − x²) − x²/√(100 − x²) = (100 − 2x²)/√(100 − x²). A'(x) = 0 ⟹ 100 − 2x² = 0 ⟹ x² = 50 ⟹ x = 5√2 ≈ 7,0711. Como y = √(100 − 50) = 5√2 = x, o retângulo é um quadrado, com área máxima A = (5√2)² = 50 cm².

7. C(x) = x + 400/x, com C'(x) = 1 − 400/x². Igualando a zero: 400/x² = 1 ⟹ x² = 400 ⟹ x = 20 (a raiz negativa não pertence ao domínio). Confirmando com vizinhos: C(19) ≈ 40,0526 e C(21) ≈ 40,0476, ambos maiores do que C(20) = 40, logo x = 20 dá o custo médio mínimo de 40 (unidades monetárias por unidade produzida).

8. f(x) = x² + 4/x, com f'(x) = 2x − 4/x². Igualando a zero: 2x³ = 4 ⟹ x³ = 2 ⟹ x = ∛2 ≈ 1,259921. O valor mínimo é f(∛2) = 2^2/3 + 4/2^1/3 ≈ 1,587401 + 3,174802 = 4,762203. Confirmação com valores vizinhos: f(1,25) ≈ 4,762500 e f(1,27) ≈ 4,762506, ambos maiores, confirmando o mínimo no ponto encontrado.

9. f(x) = x e^−x. Pela regra do produto: f'(x) = e^−x + x(−e^−x) = e^−x(1 − x). Como e^−x > 0 para todo o x, f'(x) = 0 apenas quando 1 − x = 0, isto é x = 1. Para x < 1 a derivada é positiva e para x > 1 é negativa, logo x = 1 é maximizante: f(1) = 1 × e⁻¹ = 1/e ≈ 0,367879. Confirmação: f(0,9) ≈ 0,365913 e f(1,1) ≈ 0,366158, ambos menores.

10. Sendo x o lado paralelo ao rio, os dois lados perpendiculares somam 60 − x, logo cada um mede (60 − x)/2 e A(x) = x(60 − x)/2, com D = ]0, 60[. A'(x) = (60 − 2x)/2 = 0 ⟹ x = 30. Dimensões: 30 m × 15 m, com área máxima de 450 m². Note-se a diferença face à questão 3: com menos rede (60 m em vez de 100 m) e a mesma configuração, a área máxima é menor, como seria de esperar.

11. Os quatro passos são: (1) modelar — traduzir o enunciado numa função de uma só variável, usando as restrições para eliminar as restantes; (2) restringir o domínio — impor as condições do contexto (comprimentos positivos, capacidade da caixa, etc.); (3) derivar e resolver f'(x) = 0 — obtendo os candidatos a extremo; (4) confirmar a natureza do extremo. O passo 4 é indispensável porque f'(x₀) = 0 não garante que x₀ seja máximo ou mínimo: a derivada anular-se pode corresponder a um máximo, a um mínimo ou a um ponto de inflexão com tangente horizontal. O sinal da derivada (ou, em alternativa, a comparação com valores vizinhos) é o que distingue esses casos: se f’ passa de positiva a negativa, há um máximo; de negativa a positiva, um mínimo.

12. O programa imprime: Melhor x: 3.0 e Volume maximo: 432.0. A procura é feita de milésimo em milésimo no intervalo [0, 9] e devolve x = 3,000 com volume 432,000 cm³ — exatamente o resultado obtido analiticamente na questão 2 (V(3) = 3 × 12² = 432 cm³) e o mesmo que se obteria resolvendo V'(x) = (18 − 2x)(18 − 6x) = 0. A concordância entre o método analítico e a busca numérica serve de verificação independente do resultado.

Nota: em muitos problemas de otimização do dia a dia, o ótimo tem uma forma reconhecível — o quadrado maximiza a área com perímetro fixo (questões 1 e 6) e a igualdade minimiza somas de quadrados com soma fixa (questão 4). Reconhecer estes padrões ajuda a prever o resultado, mas a justificação exige sempre o cálculo da derivada.