Ficha de Matemática — Matrizes e transformações geométricas (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre matrizes e transformações geométricas: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre matrizes e transformações geométricas
• Representação de pontos por matrizes coluna
• Rotação de 90°, de 180° e rotação geral de ângulo θ (verificada com 60°)
• Variação de tamanho (scaling)
• Cisalhamento horizontal e vertical e determinação dos pontos fixos
• Reflexões nos eixos coordenados
• Translação por soma de matrizes coluna
• Composição de transformações por produto de matrizes e a ordem de aplicação
• Composição de duas rotações de 90° como rotação de 180°
• Justificação de que uma translação não pode ser representada por uma matriz 2 × 2
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: interpretar matrizes como transformações geométricas do plano, aplicar matrizes de rotação, variação de tamanho, cisalhamento e reflexão a pontos, determinar pontos fixos, representar translações por soma de matrizes coluna e compor transformações por produto de matrizes.

Conteúdo programático: Matrizes (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): transformações geométricas e matrizes.

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Conteúdo completo

Ficha 3 — Matrizes e transformações geométricas

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: interpretar o produto de uma matriz 2 × 2 por uma matriz coluna como uma transformação geométrica do plano (rotação, variação de tamanho, cisalhamento, reflexão) e usar a soma de matrizes coluna para representar translacões.

Revisão rápida — matrizes como transformações

• Um ponto P(x, y) do plano representa-se pela matriz coluna [x; y]. Multiplicar uma matriz 2 × 2 por essa coluna dá uma nova coluna: as coordenadas do ponto transformado.
• Rotação de 90° (sentido anti-horário): R = [0 −1; 1 0]. Leva (1, 0) a (0, 1) e (0, 1) a (−1, 0).
• Rotação de ângulo θ: [cos θ −sen θ; sen θ cos θ]. Para θ = 180° obtém-se [−1 0; 0 −1], que transforma (x, y) em (−x, −y) — a simetria central na origem.
• Variação de tamanho (scaling): [k 0; 0 m] multiplica a abcissa por k e a ordenada por m — estica ou encolhe segundo cada eixo.
• Cisalhamento (shearing) horizontal: [1 c; 0 1] leva (x, y) a (x + cy, y): desloca os pontos na horizontal numa quantidade proporcional à ordenada, deixando intactos os pontos do eixo Ox.
• Reflexões: [−1 0; 0 1] reflete no eixo Oy; [1 0; 0 −1] reflete no eixo Ox.
• Translacão: obtém-se somando matrizes coluna: P′ = P + T. A translação não pode ser obtida por multiplicação por uma matriz 2 × 2 — qualquer matriz 2 × 2 deixa fixa a origem, ao passo que uma translação não nula desloca a origem.
• Composição. Aplicar primeiro a transformação B e depois a A corresponde ao produto A·B — a ordem dos fatores é a ordem inversa da aplicação das transformações.

Exercícios

1. Aplica a matriz de rotação de 90° R = [0 −1; 1 0] aos pontos (1, 0), (0, 1) e (2, 3).

2. Aplica a matriz de rotação de 180°, [−1 0; 0 −1], ao ponto (2, 3) e identifica a transformação geométrica correspondente.

3. Calcula o produto R·R com R = [0 −1; 1 0] e interpreta geometricamente o resultado.

4. Aplica a matriz S = [2 0; 0 3] aos pontos (1, 1) e (1, 0) e descreve o efeito geométrico.

5. Aplica a matriz de cisalhamento horizontal C = [1 1; 0 1] aos pontos (1, 1) e (0, 1). Que pontos do plano ficam fixos por esta transformação?

6. Aplica a matriz de cisalhamento vertical [1 0; 1 1] ao ponto (1, 1) e compara com o resultado da questão anterior.

7. Aplica a matriz [−1 0; 0 1] ao ponto (2, 3) e identifica a reflexão em causa.

8. Determina as coordenadas do ponto obtido a partir de (1, 1) por translação de vetor (3, 2). Escreve a operação em termos de matrizes coluna.

9. Aplica a matriz de rotação de 60°, [cos 60° −sen 60°; sen 60° cos 60°], ao ponto (1, 0) e apresenta o resultado na forma exata e arredondado a três casas decimais.

10. Calcula o produto R·S com R = [0 −1; 1 0] e S = [2 0; 0 3] e determina a imagem do ponto (1, 0) pela transformação composta. Explica a ordem em que as transformações são aplicadas.

11. Determinado cisalhamento horizontal fixa o ponto (0, 1) mas não o ponto (1, 1). Indica a matriz do cisalhamento e explica por que razão só os pontos com ordenada nula ficam fixos.

12. Justificação: explica por que razão uma translacão não pode ser representada por uma matriz 2 × 2, ao contrário das rotações, das variações de tamanho e dos cisalhamentos.

Soluções — Matrizes e transformações geométricas

1. R·[1; 0] = [0×1 + (−1)×0; 1×1 + 0×0] = [0; 1] → (0, 1). R·[0; 1] = [0×0 + (−1)×1; 1×0 + 0×1] = [−1; 0] → (−1, 0). R·[2; 3] = [0×2 + (−1)×3; 1×2 + 0×3] = [−3; 2] → (−3, 2). O ponto (2, 3) «roda» um quarto de volta em torno da origem, passando ao segundo quadrante.

2. [−1 0; 0 −1] · [2; 3] = [−1×2 + 0×3; 0×2 + (−1)×3] = [−2; −3] → (−2, −3). A transformação é a rotação de 180° (equivalente à simetria central na origem): cada ponto passa para o ponto diametralmente oposto em relação à origem.

3. R·R = [0 −1; 1 0] · [0 −1; 1 0] = [0×0 + (−1)×1, 0×(−1) + (−1)×0; 1×0 + 0×1, 1×(−1) + 0×0] = [−1 0; 0 −1]. Geometricamente: compor duas rotações de 90° dá uma rotação de 180°, cuja matriz é precisamente [−1 0; 0 −1]. Confirma-se a regra geral: os ângulos de rotação somam-se numa composição (90° + 90° = 180°).

4. S·[1; 1] = [2×1; 3×1] = [2; 3] → (2, 3). S·[1; 0] = [2×1; 3×0] = [2; 0] → (2, 0). O efeito é uma variação de tamanho não uniforme: as abcissas são multiplicadas por 2 e as ordenadas por 3, pelo que a figura é esticada de forma diferente segundo Ox e Oy. O ponto (1, 0) desloca-se na horizontal (a sua ordenada é 0 e mantém-se 0), enquanto (1, 1) se desloca em ambas as direções.

5. C·[1; 1] = [1×1 + 1×1; 0×1 + 1×1] = [2; 1] → (2, 1). C·[0; 1] = [1×0 + 1×1; 0×0 + 1×1] = [1; 1] → (1, 1). Ficam fixos os pontos com ordenada nula, isto é, todos os pontos do eixo Ox: para y = 0 tem-se (x, 0) → (x + 1×0, 0) = (x, 0). O ponto (0, 1) não é fixo (passa a (1, 1)); o que o cisalhamento horizontal preserva é a altura de cada ponto, não as suas coordenadas.

6. [1 0; 1 1] · [1; 1] = [1×1 + 0×1; 1×1 + 1×1] = [1; 2] → (1, 2). Comparando com a questão anterior, o cisalhamento horizontal dava (2, 1) e o vertical dá (1, 2): em ambos os casos um dos deslocamentos é preservado e o outro é alterado, mas em eixos trocados. O cisalhamento vertical desloca os pontos na vertical numa quantidade proporcional à abcissa, deixando fixos os pontos do eixo Oy.

7. [−1 0; 0 1] · [2; 3] = [−1×2 + 0×3; 0×2 + 1×3] = [−2; 3] → (−2, 3). A transformação troca o sinal da abcissa e mantém a ordenada: é a reflexão no eixo Oy (a «simetria de espelho» em relação ao eixo vertical). O ponto (2, 3) passa a (−2, 3), à mesma altura e à mesma distância do eixo.

8. P′ = P + T = [1; 1] + [3; 2] = [1+3; 1+2] = [4; 3] → (4, 3). A translação escreve-se como soma de matrizes coluna: a cada coordenada soma-se a componente correspondente do vetor de translação. Não é um produto por matriz, mas sim uma adição — o que corresponde ao deslocamento rígido do ponto.

9. Com θ = 60°: cos 60° = 1/2 e sen 60° = √3/2. Então [1/2 −√3/2; √3/2 1/2] · [1; 0] = [1/2 × 1 + (−√3/2) × 0; √3/2 × 1 + 1/2 × 0] = [1/2; √3/2] → (0,5; √3/2). Numericamente, √3/2 ≈ 0,866, logo o ponto imagem é aproximadamente (0,500; 0,866). O resultado faz sentido: rodar 60° o ponto (1, 0) tem de dar um ponto sobre a circunferência de raio 1, com abcissa cos 60° = 0,5 e ordenada sen 60° ≈ 0,866.

10. R·S = [0 −1; 1 0] · [2 0; 0 3] = [0×2 + (−1)×0, 0×0 + (−1)×3; 1×2 + 0×0, 1×0 + 0×3] = [0 −3; 2 0]. Aplicada a (1, 0): [0 −3; 2 0] · [1; 0] = [0; 2] → (0, 2). Interpretação da ordem: o produto R·S aplica primeiro S e depois R. Verificação: S·(1, 0) = (2, 0); depois R·(2, 0) = (0, 2) ✓. O resultado coincide com o da aplicação composta — confirma que a última transformação a ser aplicada é a que está mais à esquerda no produto.

11. A matriz é C = [1 1; 0 1] (cisalhamento horizontal com c = 1). Para um ponto genérico (x, y) tem-se C·[x; y] = [x + y; y], que só coincide com o ponto inicial quando y = 0. Ou seja, C fixa exatamente os pontos do eixo Ox: o deslocamento horizontal introduzido é 1 × y, que se anula precisamente quando y = 0. O ponto (0, 1) desloca-se para (1, 1) porque a sua ordenada não é nula, ainda que a sua abcissa seja 0.

12. Uma translação não pode ser representada por uma matriz 2 × 2 porque qualquer transformação definida por multiplicação por uma matriz 2 × 2 deixa fixa a origem: M·[0; 0] = [0; 0] para qualquer M. Ora uma translação de vetor não nulo (t₁, t₂) desloca a origem para (t₁, t₂) ≠ (0, 0), pelo que não pode ser obtida por um produto. Geometricamente, as transformações matriciais (rotações, variações de tamanho, cisalhamentos e reflexões) são lineares — preservam a origem e combinam-se por multiplicação — enquanto a translação é afim: desloca todos os pontos de forma rígida, o que exige uma adição de matrizes coluna. É esta diferença estrutural que obriga a tratar as translações separadamente (ou recorrer a coordenadas homogéneas, com matrizes 3 × 3, para as exprimir também por produto).

Nota: identifica sempre a transformação pela matriz — é a matriz que determina o efeito. E não confundas os dois pontos fixos: um cisalhamento horizontal mantém a ordenada de cada ponto, mas só deixa fixos (imóveis) os pontos do eixo Ox.