Ficha de Matemática — Operações com matrizes (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre operações com matrizes: 12 exercícios e soluções completas.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre operações com matrizes
• Adição e subtração de matrizes da mesma ordem
• Produto por um escalar
• Produto de matrizes e a regra linha × coluna
• Compatibilidade de dimensões e identificação de produtos impossíveis
• Propriedade associativa da adição
• Propriedade do elemento neutro: A·I = I·A = A
• Propriedade distributiva A·(B + C) = A·B + A·C
• Não comutatividade do produto com exemplo verificado
• Divisores de zero: A·B = O sem que A ou B sejam nulas
• Produto de uma matriz linha por uma matriz coluna e o produto interno
• Escrita matricial de um sistema de equações lineares
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: efetuar as quatro operações com matrizes, aplicar a regra linha × coluna, verificar a compatibilidade de dimensões antes de multiplicar, reconhecer as propriedades das operações e distinguir as que se mantêm das que se perdem em relação aos números reais.

Conteúdo programático: Matrizes (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): operações com matrizes; propriedades; produto de matrizes.

Ver todos os recursos de Matemática do 12.º ano →

Conteúdo completo

Ficha 2 — Operações com matrizes

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: efetuar adições, subtrações, produtos por um escalar e produtos de matrizes, conhecer as propriedades destas operações e identificar quando um produto não é possível e por que razão o produto de matrizes não é comutativo.

Revisão rápida — as quatro operações

• Adição e subtração. Só se efetuam entre matrizes com a mesma ordem, somando (ou subtraindo) os elementos em posições correspondentes.
• Produto por um escalar. Multiplica-se cada elemento da matriz pela constante k. O resultado tem a mesma ordem da matriz inicial.
• Produto de matrizes. A·B só é possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Se A tem ordem n × p e B tem ordem p × m, o produto A·B tem ordem n × m. «As dimensões interiores têm de coincidir; as exteriores dão a ordem do resultado.»
• Regra linha × coluna. O elemento de posição (i, j) do produto obtém-se multiplicando ordenadamente os elementos da linha i de A pelos da coluna j de B e somando os produtos: (A·B)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ bₖⱼ.
• Propriedades. A + B = B + A (comutativa a adição); (A + B) + C = A + (B + C); A + O = A (O é a matriz nula); A·I = I·A = A; (A·B)·C = A·(B·C) (associativa); A·(B + C) = A·B + A·C (distributiva).
• Atenção — o produto NÃO é comutativo. Em geral A·B ≠ B·A. Mesmo quando ambos existem, as duas matrizes podem ser diferentes; e há casos em que um dos produtos existe e o outro não.
• Atenção — o zero não anula. De A·B = O não se conclui que A = O ou B = O. Esta é uma diferença essencial em relação aos números reais.

Exercícios

1. Considera A = [1 2; 3 4] e B = [5 6; 7 8]. Determina A + B e A − B.

2. Com as matrizes da questão 1, determina 3A e −2B.

3. Determina o produto A·B, indicando explicitamente o cálculo de um dos elementos pela regra linha × coluna.

4. Determina B·A com as matrizes da questão 1 e compara com A·B. Que propriedade da multiplicação de matrizes fica assim ilustrada?

5. Considera C = [1 0 2; 3 1 0] (ordem 2 × 3). Explica por que razão o produto A·C é possível e o produto C·A não é, e calcula A·C.

6. Considera D = [−1 2; 3 0]. Mostra que (A + B) + D = A + (B + D). Que propriedade está em causa?

7. Sendo I = [1 0; 0 1], calcula A·I e I·A e comenta o resultado.

8. Verifica a propriedade distributiva A·(B + I) = A·B + A·I, com as matrizes anteriores.

9. Indica, justificando com a regra das dimensões, quais dos produtos seguintes são possíveis e qual seria a ordem do resultado: (a) A(2 × 2) · B(2 × 4); (b) A(2 × 2) · B(3 × 2); (c) A(4 × 1) · B(1 × 3).

10. Escreve o sistema 2x + y = 5 e x − y = 1 na forma matricial M·V = W, indicando M, V e W. Verifica depois que V = [2; 1] satisfaz a equação matricial.

11. Calcula o produto da matriz linha [1 2] pela matriz coluna [3; 4]. Indica a ordem do resultado e explica o que representa o valor obtido.

12. Justificação: explica por que razão o produto de matrizes não é comutativo, indicando também porque não se pode concluir A = O ou B = O a partir de A·B = O.

Soluções — Operações com matrizes

1. A + B = [1+5 2+6; 3+7 4+8] = [6 8; 10 12]. A − B = [1−5 2−6; 3−7 4−8] = [−4 −4; −4 −4]. Ambas as operações são possíveis porque A e B têm a mesma ordem (2 × 2), e efetuam-se elemento a elemento.

2. 3A = [3×1 3×2; 3×3 3×4] = [3 6; 9 12] e −2B = [−2×5 −2×6; −2×7 −2×8] = [−10 −12; −14 −16]. O fator multiplica todos os elementos, não apenas a diagonal principal.

3. Como ambas são 2 × 2, o produto é possível e tem ordem 2 × 2. Pela regra linha × coluna: (1,1) = 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19; (1,2) = 1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22; (2,1) = 3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43; (2,2) = 3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50. Logo A·B = [19 22; 43 50].

4. B·A = [5×1+6×3 5×2+6×4; 7×1+8×3 7×2+8×4] = [5+18 10+24; 7+24 14+32] = [23 34; 31 46]. Comparando: A·B = [19 22; 43 50] e B·A = [23 34; 31 46] — são matrizes diferentes. Fica assim ilustrada a não comutatividade do produto de matrizes: em geral A·B ≠ B·A, ao contrário do que acontece com a adição e com a multiplicação de números reais.

5. A tem ordem 2 × 2 e C tem ordem 2 × 3. Para A·C é preciso que as colunas de A (2) coincidam com as linhas de C (2) — coincide ✓, e o resultado tem ordem 2 × 3 (dimensões exteriores). Para C·A seria preciso que as colunas de C (3) coincidissem com as linhas de A (2) — não coincide, pelo que o produto é impossível. Cálculo de A·C: linha 1 de A = (1, 2) — com as colunas de C: 1×1 + 2×3 = 7; 1×0 + 2×1 = 2; 1×2 + 2×0 = 2. Linha 2 de A = (3, 4): 3×1 + 4×3 = 15; 3×0 + 4×1 = 4; 3×2 + 4×0 = 6. Logo A·C = [7 2 2; 15 4 6].

6. A + B = [6 8; 10 12], logo (A + B) + D = [6−1 8+2; 10+3 12+0] = [5 10; 13 12]. Por outro lado B + D = [5−1 6+2; 7+3 8+0] = [4 8; 10 8], e A + (B + D) = [1+4 2+8; 3+10 4+8] = [5 10; 13 12]. Os dois resultados coincidem: está em causa a propriedade associativa da adição de matrizes, (A + B) + D = A + (B + D).

7. A·I = [1×1+2×0 1×0+2×1; 3×1+4×0 3×0+4×1] = [1 2; 3 4] = A. Igualmente I·A = [1×1+0×3 1×2+0×4; 0×1+1×3 0×2+1×4] = [1 2; 3 4] = A. Conclui-se que a matriz identidade desempenha, no produto de matrizes, o mesmo papel que o número 1 na multiplicação de números reais: multiplicar por I não altera a matriz — e, além disso, aqui o produto é comutativo, o que só acontece em casos especiais.

8. B + I = [5+1 6+0; 7+0 8+1] = [6 6; 7 9]. Então A·(B + I) = [1×6+2×7 1×6+2×9; 3×6+4×7 3×6+4×9] = [6+14 6+18; 18+28 18+36] = [20 24; 46 54]. Por outro lado, A·B + A·I = [19 22; 43 50] + [1 2; 3 4] = [20 24; 46 54]. Os resultados coincidem, confirmando a propriedade distributiva à esquerda: A·(B + I) = A·B + A·I.

9. (a) A(2 × 2) · B(2 × 4): colunas de A = 2, linhas de B = 2 ✓ — possível, com ordem 2 × 4. (b) A(2 × 2) · B(3 × 2): colunas de A = 2, linhas de B = 3 ✗ — impossível. (c) A(4 × 1) · B(1 × 3): colunas de A = 1, linhas de B = 1 ✓ — possível, com ordem 4 × 3. As «dimensões interiores» (2 e 2, 1 e 1) coincidem nos casos possíveis e são as «exteriores» (2 e 4, 4 e 3) que dão a ordem do resultado.

10. O sistema escreve-se M·V = W com M = [2 1; 1 −1], V = [x; y] e W = [5; 1]. Verificação com V = [2; 1]: M·V = [2×2 + 1×1; 1×2 + (−1)×1] = [4+1; 2−1] = [5; 1] = W ✓ — logo x = 2 e y = 1 é a solução. Este é o fundamento do método de Gauss: resolver o sistema passa a ser operar sobre as linhas da matriz.

11. [1 2] · [3; 4] = 1×3 + 2×4 = 3 + 8 = [11]. A matriz linha tem ordem 1 × 2 e a matriz coluna 2 × 1: o produto é possível e tem ordem 1 × 1 — uma matriz com um só elemento, que se identifica com o número 11. O valor obtido é precisamente o produto interno dos vetores (1, 2) e (3, 4): o produto de matrizes generaliza esta operação.

12. O produto de matrizes não é comutativo porque a regra linha × coluna não é simétrica: em A·B cada elemento combina linhas de A com colunas de B, enquanto em B·A se combinam linhas de B com colunas de A — emparelhamentos diferentes dos mesmos números, que dão em geral resultados diferentes (como se viu na questão 4: [19 22; 43 50] contra [23 34; 31 46]). Acresce que os dois produtos podem nem ter a mesma ordem, e há casos em que um é possível e o outro não (questão 5). Quanto a A·B = O, não se pode concluir A = O nem B = O: por exemplo, [1 1; 1 1] · [1 1; −1 −1] = [0 0; 0 0], com nenhuma das matrizes a ser a matriz nula. Há, ao contrário dos números reais, divisores de zero — e é por isso que a simplificação «cortar» um fator comum numa igualdade matricial não é legítima.

Nota: antes de multiplicar matrizes, verifica sempre a compatibilidade das dimensões. A maior parte dos erros nesta matéria é tentar multiplicar matrizes incompatíveis ou trocar a ordem dos fatores.