Ficha de Matemática — Conceito de matriz e casos particulares (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre o conceito de matriz: 12 exercícios e soluções completas.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre o conceito de matriz e os seus casos particulares
• Matriz como tabela de números reais dispostos em linhas e colunas
• Ordem ou dimensão de uma matriz (linhas × colunas)
• Notação dos elementos pela posição: primeiro a linha, depois a coluna
• Diagonal principal
• Classificação em matriz retangular, quadrada, linha, coluna, diagonal e identidade
• Representação de dados reais (notas de alunos) na forma de matriz
• Igualdade de matrizes e determinação de incógnitas
• Construção de matrizes a partir de uma expressão para os seus elementos
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: reconhecer e representar matrizes, determinar a sua ordem, identificar elementos pela posição, classificar matrizes nos casos particulares e construir matrizes a partir de uma expressão para os seus elementos.

Conteúdo programático: Matrizes (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): conceito de matriz; casos particulares.

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Conteúdo completo

Ficha 1 — Conceito de matriz e casos particulares

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: reconhecer uma matriz como tabela de números reais, identificar a sua ordem e os seus elementos pela posição, e distinguir os casos particulares (retangular, quadrada, linha, coluna, diagonal e identidade).

Revisão rápida — matrizes e notação

• Matriz. Uma tabela de números reais dispostos em linhas e colunas. Escreve-se entre parênteses retos: A = [aᵢⱼ].
• Ordem (dimensão). Uma matriz com n linhas e m colunas tem ordem n × m (lê-se «n por m»). O primeiro número é sempre o número de linhas.
• Elemento aᵢⱼ. É o elemento que está na linha i e na coluna j — primeiro o índice da linha, depois o da coluna (indica-se sempre «linha, coluna»).
• Casos particulares: Retangular — n ≠ m. Quadrada — n = m (diz-se de ordem n). Matriz linha — tem uma só linha (1 × m). Matriz coluna — tem uma só coluna (n × 1). Diagonal — quadrada e todos os elementos fora da diagonal principal são nulos. Identidade — diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 (nota-se por I).
• Diagonal principal. Conjunto dos elementos aᵢᵢ, isto é, os que têm o mesmo índice de linha e de coluna (a₁₁, a₂₂, a₃₃, …).
• Igualdade. Duas matrizes são iguais se tiverem a mesma ordem e se todos os elementos em posições correspondentes forem iguais — o que permite determinar incógnitas.

Exercícios

1. Numa turma registaram-se as notas de três alunos a duas disciplinas, obtendo-se a tabela seguinte. Escreve-a na forma de matriz e indica a sua ordem.

2. Indica a ordem de cada matriz: (a) uma matriz com 4 linhas e 3 colunas; (b) uma matriz com 2 linhas e 5 colunas; (c) uma matriz quadrada com 3 linhas.

3. Considera A = [1 2 3; 4 5 6] (duas linhas e três colunas). Indica o valor dos elementos a₁₁, a₁₃, a₂₁ e a₂₃.

4. Classifica cada matriz como retangular, quadrada, linha, coluna, diagonal ou identidade: (a) [3] · (b) [2 0; 0 5] · (c) [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] · (d) [7 8 9] · (e) [4; 0; 2] · (f) [1 2 3; 4 5 6].

5. Escreve a matriz identidade de ordem 2 e a matriz identidade de ordem 3, e explica o que as distingue de uma matriz diagonal qualquer.

6. Determina x e y de modo que se verifique a igualdade [x 3; 5 y] = [7 3; 5 −2].

7. Constrói a matriz A de ordem 3 × 2 definida por aᵢⱼ = i + j.

8. Constrói a matriz B de ordem 2 × 3 definida por bᵢⱼ = 2i − j.

9. Escreve uma matriz diagonal de ordem 3 cujos elementos da diagonal principal sejam 4, −1 e 6, e indica quantos elementos nulos tem.

10. Uma matriz C de ordem 4 × 4 é diagonal e tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 3. Escreve C e diz se é a matriz identidade, justificando.

11. Uma matriz pode ser simultaneamente matriz linha e matriz coluna? E matriz quadrada e matriz retangular? Justifica com exemplos.

12. Justificação: explica por que razão a ordem de uma matriz é uma informação indispensável e por que motivo a indicação «linha, coluna» da notação aᵢⱼ não pode ser invertida.

Soluções — Conceito de matriz e casos particulares

1. A matriz é [15 12; 11 14; 18 9] — três linhas (uma por aluno) e duas colunas (uma por disciplina), logo tem ordem 3 × 2. A escolha de pôr os alunos em linhas e as disciplinas em colunas é uma convenção: o importante é que a ordem indique claramente o que representa cada linha e cada coluna.

2. (a) 4 × 3 (quatro linhas, três colunas). (b) 2 × 5. (c) Sendo quadrada com 3 linhas, tem também 3 colunas: ordem 3 × 3.

3. Na matriz A = [1 2 3; 4 5 6]: a₁₁ = 1 (linha 1, coluna 1); a₁₃ = 3 (linha 1, coluna 3); a₂₁ = 4 (linha 2, coluna 1); a₂₃ = 6 (linha 2, coluna 3).

4. (a) [3] é quadrada de ordem 1 (e, simultaneamente, matriz linha e matriz coluna). (b) [2 0; 0 5] é diagonal de ordem 2 (quadrada com zeros fora da diagonal principal). (c) é a matriz identidade de ordem 3. (d) [7 8 9] é matriz linha (1 × 3). (e) [4; 0; 2] é matriz coluna (3 × 1). (f) [1 2 3; 4 5 6] é retangular (2 × 3, com n ≠ m).

5. Identidade de ordem 2: [1 0; 0 1]. Identidade de ordem 3: [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]. Distinguem-se de uma matriz diagonal qualquer porque, além de terem zeros fora da diagonal principal, têm todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 — numa matriz diagonal geral esses elementos podem ser quaisquer números reais (por exemplo 4, −1 e 6). A identidade é, portanto, um caso particular das matrizes diagonais.

6. Para que as matrizes sejam iguais, os elementos em posições correspondentes têm de coincidir: comparando a posição (1,1) obtém-se x = 7, e comparando a posição (2,2) obtém-se y = −2. Logo x = 7 e y = −2. (As restantes posições — o 3 e o 5 — já coincidem, pelo que não impõem condições.)

7. A matriz tem 3 linhas e 2 colunas. Com aᵢⱼ = i + j: a₁₁ = 1 + 1 = 2; a₁₂ = 1 + 2 = 3; a₂₁ = 2 + 1 = 3; a₂₂ = 2 + 2 = 4; a₃₁ = 3 + 1 = 4; a₃₂ = 3 + 2 = 5. Logo A = [2 3; 3 4; 4 5]. Note-se que a matriz não é quadrada e que a₁₂ = a₂₁ = 3: a igualdade de elementos em posições diferentes é possível e não tem qualquer significado especial.

8. A matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Com bᵢⱼ = 2i − j: linha 1: b₁₁ = 2 − 1 = 1; b₁₂ = 2 − 2 = 0; b₁₃ = 2 − 3 = −1. Linha 2: b₂₁ = 4 − 1 = 3; b₂₂ = 4 − 2 = 2; b₂₃ = 4 − 3 = 1. Logo B = [1 0 −1; 3 2 1]. Repare-se que o elemento b₁₂ é 0 sem que a matriz seja diagonal — os zeros de uma matriz diagonal estão fora da diagonal principal, o que não é o caso aqui.

9. A matriz é [4 0 0; 0 −1 0; 0 0 6]. É de ordem 3 × 3, logo tem 9 elementos, dos quais 3 pertencem à diagonal principal (4, −1 e 6) e os restantes 6 são nulos — precisamente os que estão fora da diagonal principal, como exige a definição de matriz diagonal.

10. C = [3 0 0 0; 0 3 0 0; 0 0 3 0; 0 0 0 3]. É uma matriz diagonal (zeros fora da diagonal principal), mas não é a matriz identidade: na identidade os elementos da diagonal principal têm de ser iguais a 1, e aqui são iguais a 3. (Em notação compacta, C = 3I, o que ilustra que a identidade e uma matriz diagonal com valor constante são diferentes.)

11. Sim, é possível ser simultaneamente matriz linha e matriz coluna: basta ter ordem 1 × 1, como [3] — tem uma só linha e uma só coluna, satisfazendo ambas as definições. Já quadrada e retangular são mutuamente exclusivas: uma matriz é quadrada quando n = m e retangular quando n ≠ m, pelo que nenhuma matriz pode ser as duas coisas. Qualquer matriz com número de linhas diferente do número de colunas é retangular; as restantes são quadradas.

12. A ordem é indispensável porque a mesma lista de números pode originar matrizes diferentes e com propriedades distintas conforme a sua organização em linhas e colunas: os números 1, 2, 3, 4 podem formar a matriz 2 × 2 [1 2; 3 4] ou a matriz 1 × 4 [1 2 3 4], e estas não são a mesma matriz — por exemplo, só a primeira pode ser multiplicada por outra matriz 2 × 2. Além disso, é a ordem que determina se a matriz é quadrada, se admite certas operações e quantos elementos tem (n × m). Quanto à notação aᵢⱼ, a ordem «linha, coluna» não pode ser invertida porque as linhas e as colunas são estruturas diferentes: se a convenção fosse invertida, a₁₃ designaria o elemento da coluna 1 e da linha 3 — uma posição que pode nem existir (por exemplo, numa matriz com apenas 2 linhas) e que, quando existe, é em geral um número diferente. Usar a convenção «linha, coluna» de forma consistente é o que garante que todos leiam a mesma posição.

Nota: escreve sempre a ordem como linhas × colunas — é a convenção universal e o primeiro erro a evitar nesta matéria.