Ficha de Matemática — Aplicações das matrizes (12.º Ano)
Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre aplicações das matrizes: 12 exercícios e soluções.
O que inclui esta ficha
- 12 exercícios sobre aplicações das matrizes
- Matriz de adjacência de um grafo e a sua simetria
- Interpretação dos elementos da matriz de adjacência
- Potências da matriz de adjacência e contagem de caminhos de comprimento 2
- Identificação dos percursos correspondentes a cada caminho
- Escrita matricial de um sistema de equações lineares (M·V = W)
- Resolução de sistemas pelo método de Gauss (2 e 3 incógnitas)
- Verificação da solução nas equações originais
- Modelo populacional com matriz de transição
- Conservação do total e a condição das colunas somarem 1
- Determinação do estado de equilíbrio como ponto fixo
- Soluções completas para os 12 exercícios
Competências que desenvolve: construir e interpretar matrizes de adjacência, contar caminhos em grafos através de potências de matrizes, escrever e resolver sistemas lineares pelo método de Gauss e modelar a evolução de populações com matrizes de transição, identificando o estado de equilíbrio.
Conteúdo programático: Matrizes (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): aplicações das matrizes.
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Ficha 4 — Aplicações das matrizes
12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios
Objetivo: aplicar as matrizes a três contextos concretos — a matriz de adjacência de um grafo, a resolução de sistemas de equações lineares (método de Gauss) e os modelos populacionais com matrizes de transição.
Revisão rápida — três aplicações
- Matriz de adjacência. Num grafo com n vértices, a matriz de adjacência A é quadrada de ordem n, com aᵢⱼ = 1 se os vértices i e j estiverem ligados por uma aresta e aᵢⱼ = 0 caso contrário. Em grafos não orientados a matriz é simétrica e a diagonal principal é nula (nenhum vértice se liga a si próprio).
- Potências e caminhos. O elemento de posição (i, j) de Aᵏ dá o número de caminhos de comprimento k entre os vértices i e j. Em particular, os elementos da diagonal principal de A² contam os caminhos fechados de comprimento 2.
- Sistemas em forma matricial. Um sistema escreve-se M·V = W, com M a matriz dos coeficientes, V a matriz coluna das incógnitas e W a matriz coluna dos segundos membros. Esta forma é o ponto de partida do método de Gauss, que opera sobre as linhas da matriz para triangularizar o sistema.
- Modelos populacionais. Se um grupo se reparte em duas categorias, escreve-se xn+1 = M·xₙ: a matriz M descreve como se passa de um estado ao seguinte. Para que o total se conserve, as colunas de M têm de somar 1 (matriz coluna-estocástica) quando o produto é aplicado como M·xₙ.
- Equilíbrio. O estado de equilíbrio x* verifica M·x* = x*: é um ponto fixo da transformação. Encontra-se resolvendo essa igualdade em conjunto com a condição de conservação do total.
- Valor das matrizes como modelo: permitem tratar de forma uniforme situações muito diferentes (redes, sistemas lineares, evoluções de populações), reduzindo cada problema a operações matriciais.
Exercícios
1. Considera um grafo com os vértices 1, 2, 3 e 4, e as arestas 1–2, 1–3, 2–3 e 2–4. Escreve a matriz de adjacência A e indica a sua ordem.
2. Interpreta os valores de a₁₂ e a₁₄ na matriz obtida na questão 1 e explica por que razão a matriz é simétrica e tem a diagonal principal toda nula.
3. Calcula A² e interpreta o significado do elemento de posição (2, 2).
4. A partir da matriz A², determina o número de caminhos de comprimento 2 entre os vértices 1 e 2, e identifica quais são.
5. Escreve o sistema 2x + y = 5 e x − y = 1 na forma matricial M·V = W e resolve-o pelo método de Gauss.
6. Resolve, pelo método de Gauss, o sistema: x + y + z = 6 · 2x − y + z = 3 · x + 2y − z = 2.
7. Verifica se a solução encontrada na questão 6 satisfaz as três equações do sistema.
8. Uma população de 1500 aves reparte-se entre duas zonas: 1000 na zona A e 500 na zona B. Sabendo que, de um ano para o outro, 80% das aves da zona A permanecem em A e 20% passam para B, e que 30% das de B passam para A (com os restantes a permanecer em B), escreve a matriz de transição M e determina a distribuição ao fim de um ano.
9. Aplica novamente a matriz M para obter a distribuição ao fim de dois anos e verifica que o total de aves se mantém. Explica por que razão o total se conserva.
10. Determina o estado de equilíbrio do modelo da questão 8, resolvendo M·x* = x* com a condição de que o total seja 1500.
11. Explica por que razão, para que o total se conserve quando o modelo é aplicado como xn+1 = M·xₙ, as colunas de M têm de somar 1. Que aconteceria se as linhas somassem 1 em vez das colunas?
Soluções — Aplicações das matrizes
1. A = [0 1 1 0; 1 0 1 1; 1 1 0 0; 0 1 0 0], matriz quadrada de ordem 4 × 4. A linha (e a coluna) i corresponde ao vértice i; coloca-se 1 quando existe aresta entre o vértice da linha e o da coluna.
2. a₁₂ = 1: existe a aresta 1–2 (os vértices 1 e 2 estão ligados). a₁₄ = 0: não existe aresta entre 1 e 4. A matriz é simétrica porque o grafo não é orientado: se i está ligado a j, então j está ligado a i, pelo que aᵢⱼ = aⱼᵢ. A diagonal principal é toda nula (a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ = a₄₄ = 0) porque nenhum vértice está ligado a si próprio — não há arestas de um vértice para ele mesmo.
3. A² = [2 1 1 1; 1 3 1 0; 1 1 2 1; 1 0 1 1]. O elemento de posição (2, 2) é 3: existem 3 caminhos de comprimento 2 que partem do vértice 2 e regressam a ele — 2–1–2, 2–3–2 e 2–4–2. São precisamente os três vértices vizinhos de 2, cada um dando origem a um percurso de ida e volta.
4. O elemento de posição (1, 2) de A² é 1: existe um único caminho de comprimento 2 entre os vértices 1 e 2. Identificando-o: partindo de 1 e percorrendo duas arestas, as possibilidades seriam 1–2–(x) ou 1–3–(x). A segunda dá 1–3–2, que é um caminho válido (existe aresta 3–2) ✓; a primeira conduziria a 1–2–1, 1–2–3 ou 1–2–4 — mas nenhum destes termina em 2. Logo o caminho é 1–3–2.
5. Na forma matricial: M·V = W com M = [2 1; 1 −1], V = [x; y] e W = [5; 1]. Aplicando o método de Gauss à matriz ampliada [2 1 | 5; 1 −1 | 1]: trocando as linhas para facilitar, [1 −1 | 1; 2 1 | 5], e subtraindo à linha 2 o dobro da linha 1: [1 −1 | 1; 0 3 | 3]. Desta última obtém-se 3y = 3, logo y = 1; substituindo na primeira, x − 1 = 1, logo x = 2. Solução: (x, y) = (2, 1).
6. Matriz ampliada do sistema: [1 1 1 | 6; 2 −1 1 | 3; 1 2 −1 | 2]. Eliminando a primeira incógnita nas linhas 2 e 3 (linha 2 − 2 × linha 1; linha 3 − linha 1): [1 1 1 | 6; 0 −3 −1 | −9; 0 1 −2 | −4]. Eliminando agora a segunda incógnita na linha 3 (linha 3 + (1/3) × linha 2): [1 1 1 | 6; 0 −3 −1 | −9; 0 0 −7/3 | −7]. Da última equação: (−7/3)z = −7, logo z = 3. Substituindo na segunda: −3y − 3 = −9, donde −3y = −6 e y = 2. Substituindo na primeira: x + 2 + 3 = 6, donde x = 1. Solução: (x, y, z) = (1, 2, 3).
7. Verificação nas três equações originais: 1 + 2 + 3 = 6 ✓; 2×1 − 2 + 3 = 2 − 2 + 3 = 3 ✓; 1 + 2×2 − 3 = 1 + 4 − 3 = 2 ✓. As três igualdades confirmam-se, pelo que a solução (1, 2, 3) está correta.
8. A matriz de transição é M = [0,8 0,3; 0,2 0,7]: a primeira coluna descreve o destino das aves da zona A (80% ficam em A, 20% vão para B) e a segunda coluna o destino das aves da zona B (30% vão para A, 70% ficam em B). Com x₀ = [1000; 500], ao fim de um ano: x₁ = M·x₀ = [0,8×1000 + 0,3×500; 0,2×1000 + 0,7×500] = [800 + 150; 200 + 350] = [950; 550] — isto é, 950 aves na zona A e 550 na zona B.
9. x₂ = M·x₁ = [0,8×950 + 0,3×550; 0,2×950 + 0,7×550] = [760 + 165; 190 + 385] = [925; 575]. O total é 950 + 550 = 1500 e 925 + 575 = 1500 — o total conserva-se. Isso acontece porque as colunas de M somam 1 (0,8 + 0,2 = 1 e 0,3 + 0,7 = 1): cada coluna representa a repartição completa das aves de uma zona pelas duas zonas, pelo que nenhuma ave é criada nem perdida — apenas redistribuída.
10. Procura-se x* = [a; b] com M·x* = x* e a + b = 1500. Da primeira equação: 0,8a + 0,3b = a, donde 0,3b = 0,2a e portanto a = 1,5b. Substituindo em a + b = 1500: 1,5b + b = 1500, ou seja 2,5b = 1500, donde b = 600 e a = 900. O estado de equilíbrio é [900; 600] — 900 aves na zona A e 600 na zona B. Verificação: M·[900; 600] = [0,8×900 + 0,3×600; 0,2×900 + 0,7×600] = [720 + 180; 180 + 420] = [900; 600] ✓. A distribuição estável corresponde a 60% das aves na zona A e 40% na zona B.
11. As colunas de M têm de somar 1 porque cada coluna descreve a repartição completa das unidades que se encontram numa dada categoria: ao calcular a nova categoria j, o produto M·xₙ faz a soma Σᵢ mᵢⱼ xᵢ, ou seja, recolhe de cada categoria i uma fração mᵢⱼ das suas unidades. Se a coluna j somar 1, todas as unidades que saem das várias categorias são integralmente encaminhadas para as categorias de destino, e somando as equações de todas as categorias o total mantém-se. Se fossem as linhas a somar 1, o modelo conservaria o total apenas se fosse aplicado na forma xₙ₊₁ = xₙ·M (produto à direita, com xₙ como matriz linha) — a matriz correspondente seria a transposta de M. Ou seja, a convenção «colunas somam 1» está ligada à opção de escrever o estado como matriz coluna; trocar a convenção sem trocar a forma de multiplicar daria totais errados (por exemplo, [0,9 0,1; 0,2 0,8] aplicada a [1000; 500] daria [950; 600], com total 1550 em vez de 1500).
12. As três aplicações mostram a mesma ideia de fundo: reduzir situações diferentes a um único tipo de objeto e de operações. Numa rede, a matriz de adjacência codifica as ligações e as suas potências contam caminhos — um problema combinatório passa a ser um cálculo matricial. Num sistema linear, a forma M·V = W permite trabalhar apenas com a matriz dos coeficientes e os segundos membros, e o método de Gauss resume-se a transformações sobre as linhas — um problema algébrico passa a ser operações matriciais elementares. Numa evolução populacional, a matriz de transição codifica as regras de passagem e a sua iteração dá a evolução do sistema, permitindo ainda identificar o estado de equilíbrio como ponto fixo. Em todos os casos, as matrizes funcionam como modelos: uma estrutura que se manipula segundo regras próprias e cujo comportamento reflete, em linguagem matemática, o comportamento do sistema real.
Nota: nos modelos populacionais, verifica sempre a convenção: a matriz deve ter as colunas a somar 1 quando o estado é uma matriz coluna e o modelo é xₙ₊₁ = M·xₙ. É o único modo de garantir que o total se conserva.