Ficha de Matemática — Integral definido e cálculo de áreas (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre o integral definido e o cálculo de áreas: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre o integral definido e o cálculo de áreas
• Interpretação geométrica do integral definido como área
• Limites inferior e superior de integração e notação do integral definido
• Área com sinal: regiões abaixo do eixo Ox
• Distinção entre área com sinal (o integral) e área geométrica (o integral do módulo)
• Propriedades do integral definido e aditividade do intervalo
• Cálculo de áreas de regiões limitadas por gráficos de funções
• Área da região entre dois gráficos (y = x e y = x²)
• Confirmação de resultados por geometria elementar
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: interpretar geometricamente o integral definido, calcular áreas de regiões definidas por gráficos de funções, distinguir área com sinal de área geométrica, aplicar as propriedades do integral definido e usar a geometria elementar para confirmar resultados.

Conteúdo programático: Primitivas e integrais (Matemática A, 12.º ano, tema opcional): integral definido; cálculo de áreas.

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Conteúdo completo

Ficha 3 — Integral definido e cálculo de áreas

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: interpretar o integral definido de uma função positiva como a medida da área da região entre o gráfico e o eixo Ox, e calcular áreas de figuras definidas por gráficos de funções.

Revisão rápida — integral definido e área

• Notação. ∫_a^b f(x) dx lê-se «integral de f entre a e b»; a é o limite inferior e b o limite superior.
• Interpretação geométrica. Se f é contínua e não negativa em [a, b], então ∫_a^b f(x) dx é exatamente a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
• Área com sinal. Se f toma valores negativos, o integral é negativo nessa parte: mede a área «com sinal», contando negativamente as regiões abaixo do eixo Ox. Por isso o integral pode ser 0 sem que a região tenha área nula.
• Área (geométrica). Para obter a área em unidades de área, integram-se separadamente os troços onde f mantém o sinal e somam-se os módulos dos valores obtidos.
• Propriedades úteis: ∫_a^a f = 0; ∫_a^b f = −∫_b^a f; ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f (aditividade do intervalo).
• Área entre dois gráficos. Se f(x) ≥ g(x) em [a, b], a área da região entre os dois gráficos é ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx.
• Áreas conhecidas como controlo: a área de um trapézio ou triângulo pode calcular-se pela geometria elementar e serve para confirmar o resultado do integral.

Exercícios

1. Calcula ∫₀³ 2x dx e confirma o resultado comparando-o com a área do triângulo de vértices (0, 0), (3, 0) e (3, 6).

2. Calcula ∫₀¹ x² dx e interpreta o valor obtido como área de uma região.

3. Calcula ∫₀^π sen x dx e explica por que razão a área é finita, apesar de o intervalo ter comprimento π.

4. Calcula ∫₁^e (1/x) dx e comenta o resultado, atendendo a que se trata de uma área.

5. Calcula ∫₀² (x² + 1) dx.

6. Calcula ∫₋₁¹ x³ dx e explica por que razão o resultado é 0, embora a região entre o gráfico e o eixo Ox não seja vazia. Calcula em seguida a área dessa região.

7. Calcula ∫₀² eˣ dx e apresenta o resultado arredondado a três casas decimais.

8. Calcula ∫₁⁴ √x dx e verifica o resultado por meio da primitiva da raiz quadrada.

9. Determina a área da região limitada pelos gráficos de y = x e y = x², no intervalo [0, 1].

10. Calcula ∫₀^π/2 cos x dx e confirma o valor obtido pela geometria do gráfico.

11. Calcula ∫₁³ (x² − 2x) dx. Indica em que parte do intervalo a função é negativa e explica como isso afeta o significado do resultado.

12. Justificação: explica por que razão ∫_a^b f(x) dx é igual à área da região quando f ≥ 0, e o que muda quando f toma valores negativos. Que operação é preciso fazer para obter a área geométrica nesse caso?

Soluções — Integral definido e áreas

1. Uma primitiva de 2x é x², logo ∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = 9 − 0 = 9. Geometricamente, a região é o triângulo de base 3 (de x = 0 a x = 3) e altura 6 (o valor de 2x em x = 3), cuja área é (3 × 6)/2 = 9 ✓ — confirma-se o resultado do integral.

2. ∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3 ≈ 0,333. É a área da região limitada pela parábola y = x², pelo eixo Ox e pela reta x = 1: uma região «curva», mais pequena do que o triângulo de área 1/2 que a conteria.

3. ∫₀^π sen x dx = [−cos x]₀^π = (−cos π) − (−cos 0) = (−(−1)) − (−1) = 1 + 1 = 2. A área é finita porque a função é limitada (os valores de sen x estão entre 0 e 1 neste intervalo): o comprimento do intervalo é π, mas a «altura média» é apenas 2/π ≈ 0,64, e a área é o produto desses fatores. Um intervalo longo não implica área grande.

4. ∫₁^e (1/x) dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1. É notável: a região sob a hipérbole y = 1/x entre x = 1 e x = e tem exatamente 1 unidade de área — o que mostra que a base e o número de Euler estão relacionados precisamente por ln e = 1.

5. ∫₀² (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀² = (8/3 + 2) − 0 = 8/3 + 6/3 = 14/3 ≈ 4,667.

6. ∫₋₁¹ x³ dx = [x⁴/4]₋₁¹ = 1/4 − 1/4 = 0. O resultado é 0 porque f(x) = x³ é uma função ímpar: no intervalo [−1, 0] a função é negativa e no intervalo [0, 1] é positiva, e as duas regiões têm exatamente a mesma área. O integral conta a área com sinal, pelo que as duas parcelas (−1/4 e +1/4) se cancelam. A área geométrica é, no entanto, 1/4 + 1/4 = 1/2: obtém-se integrando os dois troços separadamente e somando os módulos dos resultados.

7. ∫₀² eˣ dx = [eˣ]₀² = e² − e⁰ = e² − 1 ≈ 7,389056 − 1 = 6,389 (a três casas decimais).

8. A primitiva de √x é (2/3)x^(3/2), logo ∫₁⁴ √x dx = [(2/3)x^(3/2)]₁⁴ = (2/3) × 4^(3/2) − (2/3) × 1^(3/2). Como 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8, obtém-se (2/3) × 8 − (2/3) × 1 = 16/3 − 2/3 = 14/3 ≈ 4,667.

9. No intervalo [0, 1] tem-se x ≥ x² (basta notar que x − x² = x(1 − x) ≥ 0), logo o gráfico de y = x está acima do de y = x². A área é ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = (1/2 − 1/3) − 0 = 3/6 − 2/6 = 1/6 ≈ 0,167. Confirmação geométrica: o quadrado unitário tem área 1 e a região pedida é a parte desse quadrado acima da parábola.

10. ∫₀^π/2 cos x dx = [sen x]₀^π/2 = sen(π/2) − sen 0 = 1 − 0 = 1. Geometricamente, a região sob um arco completo da função cosseno desde 0 até ao seu primeiro zero tem exatamente 1 unidade de área — um resultado «redondo» que serve de controlo.

11. ∫₁³ (x² − 2x) dx = [x³/3 − x²]₁³ = (27/3 − 9) − (1/3 − 1) = (9 − 9) − (−2/3) = 0 + 2/3 = 2/3 ≈ 0,667. A função f(x) = x² − 2x = x(x − 2) é negativa no intervalo ]0, 2[, portanto em [1, 2[ o gráfico está abaixo do eixo Ox e o integral recolhe aí uma contribuição negativa: o troço [1, 2] contribui com −2/3 e o troço [2, 3] com +4/3, cuja soma é 2/3. Assim, o valor 2/3 não é a área geométrica da região: essa seria |−2/3| + 4/3 = 2.

12. Quando f ≥ 0 em [a, b], o integral ∫_a^b f(x) dx é a área da região entre o gráfico e o eixo Ox porque o integral é o limite das somas de áreas de retângulos de altura f(x) e base infinitesimal dx: cada parcela f(x) dx é exatamente a área de uma faixa vertical, e o limite da soma dessas faixas é a área total (e todas as parcelas são positivas, pelo que nada se cancela). Quando f toma valores negativos, cada faixa f(x) dx contribui com sinal negativo, e o integral passa a medir a área com sinal — regiões abaixo do eixo Ox contam negativamente; é por isso que ∫₋₁¹ x³ dx = 0 com a região a ter área 1/2. Para obter a área geométrica é preciso: (i) determinar os zeros de f e dividir [a, b] nos troços onde o sinal é constante; (ii) calcular o integral em cada troço; (iii) somar os módulos dos valores obtidos — ou seja, aplicar o módulo à função antes de integrar.

Nota: a distinção entre área com sinal (o integral) e área geométrica (o integral do módulo) é a principal armadilha desta ficha — e a razão pela qual se devem sempre localizar os zeros da função antes de calcular uma área.