Ficha de Matemática — Raciocínio inferencial, parâmetros e estimadores (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre raciocínio inferencial, parâmetros e estimadores: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios de introdução à inferência estatística
• Distinção entre raciocínio dedutivo e raciocínio indutivo, com justificação
• Identificação de população, amostra, parâmetro, estatística, estimador e estimativa num estudo concreto
• Classificação de situações como parâmetro ou estatística
• Contagem do número de amostras com e sem reposição
• Cálculo de uma estimativa pontual e comparação com o parâmetro
• Distinção conceptual entre estimador e estimativa
• Análise do enviesamento de amostras de conveniência
• Variabilidade amostral e erro de amostragem
• Propriedade de centragem (não enviesamento) da média amostral
• Leitura crítica de uma sondagem divulgada na comunicação social
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: reconhecer o raciocínio indutivo próprio da estatística, usar corretamente o vocabulário da inferência, distinguir parâmetros de estatísticas e estimadores de estimativas, avaliar a representatividade de uma amostra e interpretar criticamente resultados de sondagens.

Conteúdo programático: Introdução à inferência estatística (Matemática A, 12.º ano): raciocínio indutivo e inferencial; população e amostra; parâmetro e estatística; estimador e estimativa; amostras aleatórias com e sem reposição.

Ver todos os recursos de Matemática do 12.º ano →

Conteúdo completo

Ficha 1 — Raciocínio inferencial, parâmetros e estimadores

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: distinguir raciocínio indutivo de dedutivo, identificar população, amostra, parâmetro e estatística, distinguir estimador de estimativa e reconhecer amostras aleatórias com e sem reposição.

Revisão rápida — o vocabulário da inferência

• Raciocínio dedutivo: parte do geral para o particular — se as premissas são verdadeiras, a conclusão é certamente verdadeira. É o raciocínio das demonstrações matemáticas.
• Raciocínio indutivo: parte de casos particulares para uma conclusão geral. A conclusão é plausível, mas não certa: uma única observação contrária pode invalidá-la. É o raciocínio da estatística.
• População: o conjunto total dos elementos sobre os quais se pretende concluir. Amostra: subconjunto da população efetivamente observado.
• Parâmetro: característica fixa da população (por exemplo μ, a média populacional). Em geral é desconhecido — é precisamente por isso que se recorre a uma amostra.
• Estatística: característica calculada a partir da amostra (por exemplo x̄, a média amostral). Varia de amostra para amostra: é uma variável aleatória.
• Estimador: a regra ou função usada para estimar o parâmetro (a média amostral x̄ é um estimador de μ). Estimativa: o valor numérico obtido numa amostra concreta (x̄ = 12,4 é uma estimativa).
• Amostra aleatória: todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de ser escolhidos, e as escolhas são independentes. Com reposição um elemento pode voltar a sair; sem reposição não. Numa população grande, a diferença é desprezável.

Exercícios

1. Dedutivo ou indutivo? Classifica cada situação e justifica: (a) «Todos os múltiplos de 6 são pares; 42 é múltiplo de 6; logo 42 é par.» (b) «Nas últimas 50 encomendas entregues, 46 chegaram no prazo; logo cerca de 92% das encomendas chegam no prazo.»

2. Identificar o vocabulário: para saber a altura média dos 1200 alunos de uma escola, mediram-se 80 alunos escolhidos ao acaso, obtendo-se uma média de 1,67 m. Identifica a população, a amostra, o parâmetro, a estatística, o estimador e a estimativa.

3. Parâmetro ou estatística? Classifica: (a) a percentagem de portugueses que leem jornais diariamente; (b) a percentagem de leitores de jornais em 500 inquiridos; (c) o número médio de filhos das famílias de uma cidade; (d) o número médio de filhos em 60 famílias entrevistadas.

4. Contar amostras: de um grupo de 5 pessoas querem-se escolher 2 para uma entrevista. Quantas amostras distintas existem se a escolha for (a) sem reposição; (b) com reposição? Explica a diferença.

5. Estimativa pontual: uma população tem os valores {12, 15, 18, 20, 25}, cuja média é 18. Retira-se a amostra {15, 20}. Calcula a média amostral e compara-a com o parâmetro, comentando a diferença.

6. Estimador e estimativa: explica, em duas frases, a diferença entre estimador e estimativa. Dá um exemplo de cada, no caso da média.

7. Amostras de conveniência: para estimar o tempo médio que os alunos passam a estudar, um investigador inquiriu apenas os alunos que estavam na biblioteca. Explica por que razão esta amostra é enviesada e propõe um processo de amostragem mais adequado.

8. Variabilidade: duas amostras diferentes retiradas da mesma população deram médias de 1,65 m e 1,70 m. Explica por que razão as médias diferem, embora a população seja a mesma, e que nome se dá a esta variabilidade.

9. Estimativa a partir de uma amostra: numa escola com 1200 alunos escolheu-se aleatoriamente uma amostra de 50 e obteve-se uma nota média de 12,4 valores. Indica a estimativa pontual da nota média da escola e explica por que razão este valor não é, em geral, igual ao parâmetro.

10. Com ou sem reposição? Explica a diferença entre amostragem com reposição e sem reposição e indica qual delas se usa habitualmente em sondagens, justificando.

11. Justificação: explica o que significa dizer que a média amostral é um estimador centrado (não enviesado) da média populacional e por que razão essa propriedade é desejável.

12. Leitura crítica: um jornal escreve: «Uma sondagem a 1000 pessoas revela que 62% dos portugueses apoiam a medida.» Identifica o parâmetro e a estatística, explica por que razão 62% não é o valor exato do parâmetro e indica um fator que pode introduzir erro além da aleatoriedade da amostra.

Soluções — Raciocínio inferencial, parâmetros e estimadores

1. (a) Dedutivo: parte de uma afirmação geral (todos os múltiplos de 6 são pares) e conclui um caso particular, com certeza absoluta. (b) Indutivo: parte de 50 casos particulares e generaliza para o conjunto das encomendas — a conclusão é plausível, mas não garantida (as próximas encomendas podem comportar-se de modo diferente).

2. População: os 1200 alunos da escola. Amostra: os 80 alunos medidos. Parâmetro: a altura média dos 1200 alunos (desconhecida). Estatística: a altura média dos 80 alunos medidos (1,67 m). Estimador: a média amostral x̄ (a regra geral). Estimativa: o valor 1,67 m obtido nesta amostra.

3. (a) Parâmetro — diz respeito a toda a população de portugueses. (b) Estatística — calculada apenas nos 500 inquiridos. (c) Parâmetro — característica de toda a população da cidade. (d) Estatística — calculada a partir das 60 famílias entrevistadas.

4. (a) Sem reposição: a ordem não interessa e não se repetem pessoas, pelo que o número de amostras é ⁵C₂ = 10. (b) Com reposição: cada uma das 2 escolhas pode recair em qualquer das 5 pessoas, admitindo repetição, logo há 5² = 25 amostras. A diferença está em que, com reposição, a mesma pessoa pode ser escolhida duas vezes e a ordem passa a distinguir amostras.

5. A média amostral é (15 + 20)/2 = 17,5, enquanto o parâmetro é μ = 18. A estimativa não coincide com o parâmetro: 17,5 < 18. Com apenas 2 elementos, a amostra pode sobre- ou sub-representar valores altos ou baixos da população — é essa a origem do erro de amostragem, que diminui à medida que o tamanho da amostra aumenta.

6. O estimador é a regra (função) que se aplica aos dados — é uma variável aleatória, porque muda de amostra para amostra; a estimativa é o número concreto que essa regra produz numa amostra observada. Exemplo: x̄ é o estimador de μ; se numa amostra se obteve x̄ = 12,4, então 12,4 é a estimativa.

7. A amostra é enviesada porque os alunos que estão na biblioteca tendem a estudar mais do que a generalidade dos alunos: a amostra não representa a população, sobrestimando sistematicamente o tempo de estudo. O processo adequado é uma amostragem aleatória: escolher os alunos ao acaso a partir de uma lista completa de todos os alunos da escola, de modo que todos tenham a mesma probabilidade de ser inquiridos.

8. As médias diferem porque cada amostra contém elementos diferentes, escolhidos ao acaso: uma pode conter mais alunos altos, outra mais alunos baixos. Esta variação das estimativas de amostra para amostra chama-se variabilidade amostral (ou erro de amostragem). Note-se que o parâmetro é fixo — o que varia é a estatística.

9. A estimativa pontual da nota média da escola é 12,4 valores. Não é, em geral, igual ao parâmetro porque se observou apenas uma amostra de 50 alunos entre 1200: outras amostras do mesmo tamanho dariam, com grande probabilidade, médias ligeiramente diferentes. A estimativa é um valor plausível, não o valor exato.

10. Na amostragem com reposição cada elemento escolhido é devolvido à população antes da escolha seguinte (podendo voltar a sair); sem reposição os elementos já escolhidos são retirados. Em sondagens usa-se habitualmente a amostragem sem reposição — não faz sentido inquirir a mesma pessoa duas vezes. Como a população é muito maior do que a amostra, a diferença entre os dois processos é, na prática, desprezável.

11. Dizer que x̄ é um estimador centrado de μ significa que, se se repetisse a amostragem muitas vezes, a média de todas as estimativas obtidas seria igual a μ — ou seja, x̄ não erra sistematicamente para cima nem para baixo. Esta propriedade é desejável porque garante que o método de estimação não introduz um desvio de fundo: os erros de amostras concretas compensam-se em média, e o erro diminui quando o tamanho da amostra aumenta.

12. O parâmetro é a verdadeira percentagem de portugueses que apoiam a medida (desconhecida); a estatística é os 62% observados nos 1000 inquiridos. Os 62% não são o valor exato do parâmetro porque resultam de uma única amostra: outra amostra de 1000 pessoas daria, quase certamente, uma percentagem diferente (variabilidade amostral). Além da aleatoriedade, há fatores que podem introduzir enviesamento: por exemplo, o modo como as pessoas foram escolhidas (só por telefone fixo excluiria parte da população) ou a formulação da pergunta, que pode induzir a resposta.

Nota: a palavra-chave de toda esta matéria é representatividade — uma amostra grande mas enviesada pode ser pior do que uma amostra pequena escolhida ao acaso. O raciocínio inferencial só é legítimo quando a amostra é aleatória.