Ficha de Matemática — Intervalos de confiança para o valor médio (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre intervalos de confiança para o valor médio: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre intervalos de confiança para o valor médio
• Construção do intervalo de confiança a 95% a partir de uma amostra
• Cálculo e interpretação da margem de erro
• Fórmula geral a 100(1 − α)% e os quantis da normal padrão (1,645, 1,96 e 2,576)
• Confirmação dos quantis pelos valores da função Φ
• Comparação da largura do intervalo nos níveis de 90%, 95% e 99%
• Efeito do tamanho da amostra na margem de erro
• Dimensionamento da amostra para uma margem de erro pretendida, com arredondamento por excesso
• Interpretação correta do nível de confiança e os erros de interpretação mais comuns
• Simulação de 2000 intervalos de confiança em Python, com interpretação dos resultados
• Aplicação ao tempo médio de espera dos clientes de uma empresa
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: construir intervalos de confiança para o valor médio, calcular a margem de erro, aplicar a fórmula geral para qualquer nível de confiança, avaliar como o tamanho da amostra e o nível de confiança afetam a precisão, dimensionar uma amostra para uma precisão pretendida e interpretar corretamente o significado de um intervalo de confiança.

Conteúdo programático: Introdução à inferência estatística (Matemática A, 12.º ano): estimativas pontuais e intervalares; intervalo de confiança para o valor médio; fórmula geral 100(1 − α)%; margem de erro; dimensionamento da amostra.

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Conteúdo completo

Ficha 3 — Intervalos de confiança para o valor médio

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: construir e interpretar intervalos de confiança para o valor médio de uma população, calcular a margem de erro, usar a fórmula geral para qualquer nível de confiança e dimensionar uma amostra para uma precisão pretendida.

Revisão rápida — estimativa intervalar

• Uma estimativa pontual (por exemplo x̄) dá um único valor; uma estimativa intervalar dá um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro, acompanhado de um nível de confiança.
• Margem de erro (para a média, com desvio padrão populacional σ conhecido): MA = z × σ/√n.
• Intervalo de confiança a 100(1 − α)%: x̄ ± z_1−α/2 × σ/√n, onde z_1−α/2 é o quantil da normal padrão tal que Φ(z) = 1 − α/2.
• Valores a memorizar: 90% → z = 1,645; 95% → z = 1,96; 99% → z = 2,576.
• Interpretação correta: a partir de uma amostra o intervalo pode ou não conter μ — não sabemos qual. O que o nível de confiança diz é que o método produz intervalos que contêm μ em 95% dos casos, quando se repetisse a amostragem muitas vezes.
• Como estreitar o intervalo: aumentar o tamanho da amostra n, ou diminuir o nível de confiança (abdicando de garantia).
• Dimensão da amostra para uma margem de erro pretendida MA: resolve-se n ≥ (z σ / MA)² e arredonda-se sempre por excesso.

Exercícios

1. Numa amostra de 100 observações obteve-se x̄ = 12 e sabe-se que σ = 3. Constrói o intervalo de confiança a 95% para μ e indica a margem de erro.

2. Explica o significado da margem de erro obtida na questão 1 e o que significa dizer que o nível de confiança é 95%.

3. Escreve a fórmula geral do intervalo de confiança a 100(1 − α)% para o valor médio e indica o valor de z para os níveis de 90%, 95% e 99%, confirmando cada um com o valor de Φ(z).

4. Com os mesmos dados (x̄ = 12, σ = 3, n = 100), constrói o intervalo de confiança a 90%.

5. Constrói ainda o intervalo de confiança a 99% e compara a sua largura com as dos intervalos das questões 1 e 4, explicando a relação entre nível de confiança e largura.

6. Mantendo x̄ = 12, σ = 3 e o nível de 95%, calcula o intervalo para n = 400 e compara a margem de erro com a da questão 1.

7. Um investigador afirma: «recolhi uma amostra maior, por isso o meu intervalo ficou mais estreito e agora é mais fiável». Explica em que sentido esta afirmação é correta e em que sentido deve ser lida com cuidado.

8. Pretende-se um intervalo de confiança a 95% com margem de erro não superior a 0,5, sabendo que σ = 3. Determina a dimensão mínima da amostra necessária e verifica o resultado.

9. Interpretação: explica o que está errado (e o que está correto) nas afirmações seguintes: (a) «há 95% de probabilidade de μ pertencer a este intervalo»; (b) «95% dos elementos da população pertencem a este intervalo».

10. Simulação: numa simulação construíram-se 2000 intervalos de confiança a 95% (n = 25, σ = 1) para uma população com μ = 0 e verificou-se que 1891 continham μ. Comenta este resultado: o que confirma e por que razão não é exatamente 95%?

11. (Python) O programa seguinte simula 2000 intervalos de confiança a 95% e conta quantos contêm μ. Executa-o e indica exatamente o que é impresso, comparando com o resultado da questão 10.

import random random.seed(0) mu = 0.0 sigma = 1.0 n = 25 rep = 2000 contem = 0 for _ in range(rep): amostra = [random.gauss(mu, sigma) for _ in range(n)] media = sum(amostra) / n margem = 1.96 * sigma / (n ** 0.5) if media – margem <= mu <= media + margem: contem += 1 print(‘Intervalos que contem mu:’, contem) print(‘Proporcao:’, round(contem / rep, 4))

12. Aplicação: uma empresa quer estimar o tempo médio de espera dos clientes. Numa amostra de 64 clientes obteve-se x̄ = 8,5 minutos e sabe-se que σ = 4 minutos. Constrói o intervalo de confiança a 95% e explica o que a empresa deve concluir.

Soluções — Intervalos de confiança para o valor médio

1. A margem de erro é MA = 1,96 × 3/√100 = 1,96 × 0,3 = 0,588. O intervalo a 95% é 12 ± 0,588, isto é [11,412; 12,588].

2. A margem de erro (0,588) é o afastamento máximo que admitimos entre a estimativa x̄ e o parâmetro μ, para o nível de confiança escolhido. Dizer que o nível de confiança é 95% significa que, se repetíssemos a amostragem muitas vezes e construíssemos o intervalo sempre do mesmo modo, cerca de 95% desses intervalos conteriam μ. É uma propriedade do método, não de um intervalo particular.

3. A fórmula geral é x̄ ± z_1−α/2 × σ/√n, com Φ(z_1−α/2) = 1 − α/2. Para 90%: 1 − α/2 = 0,95 ⟹ z = 1,645 (Φ(1,645) ≈ 0,9500). Para 95%: 1 − α/2 = 0,975 ⟹ z = 1,96 (Φ(1,96) = 0,9750). Para 99%: 1 − α/2 = 0,995 ⟹ z = 2,576 (Φ(2,576) ≈ 0,9950).

4. Ma = 1,645 × 0,3 = 0,4935, logo o intervalo a 90% é 12 ± 0,4935 = [11,5065; 12,4935].

5. Para 99%: MA = 2,576 × 0,3 = 0,7728, logo o intervalo é [11,2272; 12,7728]. Comparando as larguras: 90% → 0,987; 95% → 1,176; 99% → 1,5456. Quanto maior o nível de confiança, mais largo é o intervalo: para garantir com mais segurança que μ está dentro dele, é preciso admitir uma gama maior de valores plausíveis. Confiança e precisão são objetivos em tensão.

6. MA = 1,96 × 3/√400 = 1,96 × 0,15 = 0,294, exatamente metade da margem da questão 1 (0,588), pois √400 = 2√100. O intervalo é [11,706; 12,294] — com quatro vezes mais observações, a estimativa é duas vezes mais precisa.

7. A afirmação é correta no essencial: com a mesma confiança de 95%, um n maior reduz a margem de erro (σ/√n diminui) e o intervalo fica mais estreito, o que corresponde a uma estimativa mais precisa — supondo que a amostra maior foi recolhida com o mesmo processo aleatório. Deve, no entanto, ser lida com cuidado em dois pontos: (i) maior precisão não corrige enviesamento — uma amostra grande mas mal recolhida continua a dar uma estimativa errada, apenas com aparência de rigor; (ii) a precisão melhora com √n, pelo que o ganho é cada vez menor, e há sempre um custo associado a recolher mais dados.

8. Exige-se MA ≤ 0,5, ou seja 1,96 × 3/√n ≤ 0,5. Resolvendo: √n ≥ 1,96 × 3/0,5 = 11,76, donde n ≥ 11,76² = 138,2976. Como a dimensão tem de ser um número inteiro e a desigualdade é n ≥ 138,2976, arredonda-se por excesso: n = 139. Verificação: com n = 139 a margem é 1,96 × 3/√139 ≈ 0,4987 ≤ 0,5 ✓ ; com n = 138 seria 0,5005 > 0,5 ✗ — o que mostra por que razão não se pode arredondar por defeito.

9. (a) Incorreta na forma: μ é um valor fixo (embora desconhecido), não aleatório — depois de calculado, o intervalo ou contém μ ou não contém; a probabilidade 95% refere-se ao método (à proporção de intervalos que conteriam μ em amostragens repetidas). Uma formulação aceitável é: «o método usado produz intervalos que contêm μ em 95% dos casos». (b) Totalmente errada: o intervalo é um intervalo de confiança para a média (um parâmetro), não um intervalo que contenha 95% dos indivíduos da população. Para conter 95% dos indivíduos seria preciso usar μ ± 1,96σ — um intervalo muito mais largo, e de natureza diferente.

10. Dos 2000 intervalos construídos, 1891 continham μ, o que corresponde a uma proporção de 0,9455 — muito próxima de 0,95. Isto confirma o significado do nível de confiança: o método produz intervalos que «apanham» μ em cerca de 95% das vezes. Não dá exatamente 95% porque uma simulação é uma amostra finita (2000 repetições, não infinitas) e existe flutuação própria do gerador aleatório; variando a semente obtêm-se valores como 0,9470, 0,9480 ou 0,9545, todos em torno de 0,95.

11. O programa imprime Intervalos que contem mu: 1891 e Proporcao: 0.9455. Reproduz, portanto, exatamente o resultado descrito na questão 10 — o que é natural, pois o código usa a mesma semente (random.seed(0)), garantindo uma sequência de números pseudoaleatórios reprodutível. Alterando a semente, o número de intervalos que contêm μ varia ligeiramente (por exemplo 1894 ou 1896 em 2000), mas mantém-se próximo de 95%: é precisamente essa estabilidade em torno de 0,95 que dá sentido à interpretação do nível de confiança.

12. A margem de erro é MA = 1,96 × 4/√64 = 1,96 × 0,5 = 0,98 minutos, logo o intervalo de confiança a 95% é 8,5 ± 0,98, isto é [7,52; 9,48] minutos. A empresa deve concluir que o tempo médio de espera de todos os clientes está plausivelmente entre cerca de 7,5 e 9,5 minutos, com 95% de confiança no método usado. Deve ter em atenção que este intervalo diz respeito à média e não ao tempo de espera de um cliente individual, e que a conclusão pressupõe que a amostra de 64 clientes foi recolhida aleatoriamente.

Nota: a ideia mais subtil desta ficha é a da questão 9 — μ não é aleatório, o intervalo é que é. Compreender isso evita o erro mais comum de toda a inferência estatística.