Ficha de Matemática — Continuidade, limites e assíntotas (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre continuidade, limites e assíntotas: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre continuidade, limites e assíntotas
• As três condições necessárias e suficientes para a continuidade num ponto
• Descontinuidades removíveis e o valor que as corrige
• Levantamento de indeterminações do tipo 0/0 por simplificação algébrica
• Indeterminações do tipo ∞/∞ e a regra dos coeficientes de maior grau
• Aplicação da regra de L Hôpital em indeterminações 0/0
• Limites notáveis com o seno, com a exponencial e com o logaritmo
• Comparação de crescimentos: o limite de ln x sobre x quando x tende para mais infinito
• Determinação de assíntotas verticais, horizontais e oblíquas
• Verificação de se o gráfico cruza ou não uma assíntota horizontal
• Um programa em Python que aproxima numericamente um limite notável
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: avaliar a continuidade de uma função num ponto pelas suas três condições, identificar e levantar indeterminações, aplicar a regra de L Hôpital com verificação prévia das condições, usar os limites notáveis e determinar assíntotas verticais, horizontais e oblíquas interpretando o comportamento do gráfico.

Conteúdo programático: Funções (Matemática A, 12.º ano): continuidade num ponto; propriedades operatórias dos limites; indeterminações; regra de L Hôpital; tabela de limites notáveis; assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.

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Conteúdo completo

Ficha 11 — Continuidade, limites e assíntotas

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: estudar a continuidade de uma função num ponto, calcular limites com indeterminações (por simplificação algébrica e pela regra de L’Hôpital), usar os limites notáveis e determinar assíntotas verticais, horizontais e oblíquas ao gráfico de uma função.

Revisão rápida — continuidade, limites e assíntotas

• Continuidade em x = a: uma função é contínua em a se (i) f(a) está definida, (ii) existe lim_x→a f(x) e (iii) os dois valores são iguais. Falhando qualquer destas condições, a função não é contínua em a.
• Indeterminações: escreve-se 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0×∞ ou 1^∞. Não são respostas: obrigam a trabalho adicional, por simplificação, por levantamento da indeterminação ou pela regra de L’Hôpital.
• Indeterminações 0/0 e ∞/∞: quando f e g são deriváveis e g’ ≠ 0 perto do ponto, a regra de L’Hôpital permite escrever lim f/g = lim f’/g’.
• Limites notáveis: lim_x→0 sen x / x = 1 · lim_x→0 (e^x − 1)/x = 1 · lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1 · lim_x→±∞ (1 + 1/x)^x = e · lim_x→+∞ ln x / x = 0.
• Assíntota vertical x = a: quando lim_x→a f(x) = ±∞ (o gráfico «sobe» indefinidamente junto da reta).
• Assíntota horizontal y = b: quando lim_x→±∞ f(x) = b (valor finito).
• Assíntota oblíqua y = mx + b: quando m = lim_x→±∞ f(x)/x é finito e não nulo, e b = lim_x→±∞ [f(x) − mx]. Verifica-se quando o numerador tem grau uma unidade acima do denominador.

Exercícios

1. Limites notáveis: indica o valor de: a) lim_x→0 sen x / x · b) lim_x→0 (e^x − 1)/x · c) lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x.

2. Indeterminação 0/0: calcula lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2), levantando a indeterminação por simplificação.

3. Indeterminação ∞/∞: calcula lim_x→+∞ (3x² + 2x)/(x² − 1).

4. Regra de L’Hôpital: calcula lim_x→0 (e^x − 1)/x aplicando a regra de L’Hôpital e confirma o valor com o limite notável correspondente.

5. L’Hôpital com logaritmo: calcula lim_x→0 ln(1 + x)/x pela regra de L’Hôpital.

6. Comparação de crescimentos: calcula lim_x→+∞ ln x / x pela regra de L’Hôpital e interpreta o resultado.

7. Continuidade: a função f(x) = (x² − 9)/(x − 3) não está definida em x = 3. Que valor se deve atribuir a f(3) para que f seja contínua nesse ponto? Justifica com o limite.

8. Assíntota vertical: determina a assíntota vertical do gráfico de f(x) = 1/(x − 2) e estuda o comportamento de f junto dessa reta.

9. Assíntota horizontal: determina a assíntota horizontal do gráfico de f(x) = (2x + 1)/(x − 3) e indica se o gráfico a cruza.

10. Assíntota oblíqua: para f(x) = (x² + 1)/x, escreve f(x) na forma x + k/x e determina a assíntota oblíqua do gráfico.

11. Justificação: enuncia as três condições necessárias e suficientes para que uma função seja contínua num ponto a e explica o que falha em cada uma delas quando a função não é contínua.

12. (Python) O programa seguinte aproxima o limite lim_x→0 (e^x − 1)/x com dois valores de x cada vez mais próximos de zero. Executa-o e indica exatamente o que é impresso, comentando a conjetura obtida.

from math import exp x = 0.000001 valor = (exp(x) – 1) / x print(‘Valor em x = 0,000001:’, round(valor, 6)) print(‘Valor em x = 0,0000001:’, round((exp(x / 10) – 1) / (x / 10), 7)) print(‘Conjetura do limite:’, 1)

Dica: antes de aplicar L’Hôpital, verifica sempre que se trata mesmo de uma indeterminação 0/0 ou ∞/∞. Aplicar a regra fora dessas condições produz resultados errados. E, depois de derivar numerador e denominador, confirma que o novo limite já não é indeterminado antes de concluir.

Soluções — Continuidade, limites e assíntotas

1. a) lim_x→0 sen x / x = 1 · b) lim_x→0 (e^x − 1)/x = 1 · c) lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x = e ≈ 2,71828. Os dois primeiros são limites notáveis de indeterminação 0/0 e o terceiro é a definição do número de Euler como limite (a expressão (1 + 1/x)^x tende para e ≈ 2,718282, como se confirma numericamente).

2. Em x = 2 a expressão dá 0/0. Fatorizando o numerador (diferença de quadrados): (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, para x ≠ 2. Logo lim_x→2 (x² − 4)/(x − 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4 (valor confirmado numericamente: 4,000000).

3. Em +∞ a expressão dá ∞/∞. Dividindo numerador e denominador por x²: (3 + 2/x)/(1 − 1/x²). Como 2/x → 0 e 1/x² → 0, o limite é 3/1 = 3. É o caso típico em que o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (3 e 1).

4. Em x = 0 a expressão dá 0/0, logo aplica-se L’Hôpital: derivando numerador e denominador obtém-se e^x/1, e lim_x→0 e^x = e⁰ = 1. O resultado coincide com o limite notável, como tinha de acontecer.

5. Em x = 0 a expressão dá 0/0. Com L’Hôpital: a derivada de ln(1 + x) é 1/(1 + x) e a derivada de x é 1, pelo que o limite é lim_x→0 1/(1 + x) = 1/(1 + 0) = 1 (confirmado numericamente: 0,99999995).

6. Em +∞ a expressão dá ∞/∞. Por L’Hôpital: derivando numerador e denominador obtém-se (1/x)/1 = 1/x, e lim_x→+∞ 1/x = 0. Interpretação: o logaritmo cresce, mas tão lentamente que o quociente ln x / x tende para zero — o crescimento de x «ganha» sempre ao do logaritmo (a verificação numérica em x = 10⁹ dá ≈ 2,07 × 10⁻⁸, confirmando a aproximação a zero).

7. Em x = 3 o numerador e o denominador anulam-se, dando 0/0. Fatorizando: (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3 para x ≠ 3, logo lim_x→3 f(x) = 3 + 3 = 6 (o mesmo valor se obtém pela esquerda e pela direita: 5,999 e 6,001 com aproximações sucessivas). Como o limite existe e é finito, basta definir f(3) = 6 para que a função seja contínua em x = 3 — a descontinuidade era removível.

8. Em x = 2 o denominador anula-se e o numerador não, logo a função não tem limite finito aí: quando x → 2⁺, x − 2 → 0⁺ e f(x) → +∞; quando x → 2⁻, f(x) → −∞. Como o limite é infinito, a reta x = 2 é assíntota vertical ao gráfico — a curva aproxima-se dela «subindo» à direita e «descendo» à esquerda.

9. Dividindo numerador e denominador por x: (2 + 1/x)/(1 − 3/x) → 2/1 = 2 quando x → ±∞. Logo a reta y = 2 é assíntota horizontal. Neste caso o gráfico não cruza a assíntota: para o verificar, resolve-se (2x + 1)/(x − 3) = 2, obtendo 2x + 1 = 2x − 6, isto é 1 = −6 — uma igualdade impossível, o que confirma que o gráfico se aproxima de y = 2 sem nunca a atingir.

10. Separando a fração: (x² + 1)/x = x²/x + 1/x = x + 1/x. Quando x → ±∞, a parcela 1/x tende para 0, pelo que f(x) − x → 0 e o gráfico aproxima-se indefinidamente da reta y = x, que é a assíntota oblíqua (o mesmo se obteria com m = lim f(x)/x = 1 e b = lim [f(x) − x] = 0).

11. As três condições são: (i) f(a) está definida, ou seja a pertence ao domínio de f; (ii) existe o limite lim_x→a f(x), isto é os limites laterais existem e são iguais entre si (e finitos); (iii) esse limite é igual a f(a). Quando falha (i), a função tem um ponto não pertencente ao domínio (como f(x) = 1/(x − 2) em x = 2); quando falha (ii), há salto ou limite infinito (os limites laterais diferem ou explodem); quando falha (iii) apenas, trata-se de uma descontinuidade removível — o limite existe, mas o valor atribuído à função no ponto é diferente dele, bastando redefinir f(a) para corrigir (como na questão 7).

12. O programa imprime: Valor em x = 0,000001: 1.0 · Valor em x = 0,0000001: 1.0 · Conjetura do limite: 1. Com x = 10⁻⁶ e depois com x = 10⁻⁷ o quociente (e^x − 1)/x mantém-se em 1,0 até à sexta e à sétima casa decimal, respetivamente. A conjetura é lim_x→0 (e^x − 1)/x = 1, confirmada analiticamente pela regra de L’Hôpital na questão 4. Note-se que a aproximação numérica apenas sugere o valor do limite: a prova exata é a analítica.

Nota: distingue «calcular o valor no ponto» de «calcular o limite no ponto». Em (x² − 9)/(x − 3) o primeiro não existe (0/0) mas o segundo existe e vale 6 — é exatamente essa diferença que define a continuidade e permite remover a descontinuidade.