Ficha de Matemática — Números complexos: operações e radiciação (12.º Ano)
Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre operações na forma trigonométrica e radiciação: 12 exercícios e soluções.
O que inclui esta ficha
- 12 exercícios sobre multiplicação, divisão e potenciação na forma trigonométrica
- Fórmula de De Moivre aplicada a potências como (1 + i)⁸, (√3 + i)⁶ e (1 − i)⁴
- Radiciação: raízes quadradas, raízes cúbicas e raízes n-ésimas de um número complexo
- Leitura geométrica das raízes como vértices de um polígono regular
- Raízes da unidade e equações simples em ℂ
- Conjuntos de pontos definidos por condições na variável complexa, como |z − 1| = 2
- Um exercício de programação em Python que calcula as n raízes n-ésimas
- Soluções completas para os 12 exercícios
Competências que desenvolve: aplicar a fórmula de De Moivre para calcular potências de números complexos, efetuar multiplicações e divisões na forma trigonométrica, determinar as n raízes n-ésimas de um complexo e interpretar geometricamente o conjunto das raízes, resolvendo equações e identificando conjuntos definidos por condições de módulo.
Conteúdo programático: Números complexos (Matemática A, 12.º ano): operações na forma trigonométrica — multiplicação, divisão e potenciação; fórmula de De Moivre; radiciação e raízes n-ésimas; raízes da unidade; equações em ℂ e conjuntos definidos por condições na variável complexa.
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Conteúdo completo
Ficha 7 — Números complexos: operações e radiciação
12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios
Objetivo: efetuar multiplicações, divisões e potências na forma trigonométrica (fórmula de De Moivre), determinar raízes n-ésimas de um número complexo e resolver equações simples e conjuntos de pontos definidos por condições na variável complexa.
Revisão rápida — operações, De Moivre e radiciação
- Multiplicação: com z = ρ₁ cis θ₁ e w = ρ₂ cis θ₂ tem-se zw = ρ₁ρ₂ cis(θ₁ + θ₂) — os módulos multiplicam-se e os argumentos somam-se.
- Divisão (com w ≠ 0): z/w = (ρ₁/ρ₂) cis(θ₁ − θ₂) — os módulos dividem-se e os argumentos subtraem-se.
- Fórmula de De Moivre (potenciação): para n inteiro, zⁿ = ρⁿ cis(nθ). É o instrumento natural para potências altas: evita expandir produtos como (1 + i)⁸.
- Radiciação — raízes n-ésimas: as n raízes n-ésimas de z = ρ cis θ são wₖ = ρ1/n cis((θ + 2kπ)/n), com k = 0, 1, 2, …, n − 1. Todas têm o mesmo módulo ρ1/n e os seus argumentos estão espaçados de 2π/n.
- Leitura geométrica: os afixos das n raízes são os vértices de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência de centro na origem e raio ρ1/n.
- Raízes da unidade: as raízes de zⁿ = 1 têm módulo 1 e argumentos 2kπ/n — formam um polígono regular inscrito na circunferência trigonométrica.
- Conjuntos definidos por condições: |z − z₀| = r (com r > 0) descreve a circunferência de centro no afixo de z₀ e raio r; |z − z₀| < r descreve o interior dessa circunferência.
Exercícios
1. Multiplicação: para z = 2 cis(π/4) e w = 3 cis(π/6), calcula zw e apresenta o resultado na forma trigonométrica.
2. Divisão: para z = 6 cis(2π/3) e w = 2 cis(π/4), calcula z/w na forma trigonométrica.
3. De Moivre: calcula (1 + i)⁸, passando z = 1 + i à forma trigonométrica.
4. De Moivre: calcula (√3 + i)⁶.
5. Potência: calcula (1 − i)⁴.
6. Divisão para a forma algébrica: calcula (4 cis(π/3)) / (2 cis(π/6)) e apresenta o resultado na forma a + bi.
7. Raízes quadradas: determina as duas raízes quadradas de z = 4 cis(π/3).
8. Raízes cúbicas: determina as três raízes cúbicas de 8. Mostra que os seus afixos são os vértices de um triângulo equilátero.
9. Raízes da unidade: resolve, em ℂ, a equação z³ = 1.
10. Equação em ℂ: resolve a equação z² + 16 = 0.
11. Conjunto de pontos: identifica e descreve o conjunto dos afixos dos números complexos z tais que |z − 1| = 2.
12. (Python) O programa seguinte calcula as n raízes n-ésimas de um número complexo dado pelo módulo e pelo argumento. Executa-o para ρ = 4, θ = π/3 e n = 2 e indica exatamente o que é impresso.
import math rho = float(input(‘rho? ‘)) t = float(input(‘theta (rad)? ‘)) n = int(input(‘n? ‘)) r = rho ** (1 / n) print(‘Raizes:’) for k in range(n): ang = (t + 2 * math.pi * k) / n a = round(r * math.cos(ang), 3) b = round(r * math.sin(ang), 3) sinal = ‘+’ if b >= 0 else ‘-‘ print(‘ ‘, a, sinal, abs(b), ‘i’)
Dica: na radiciação não te esqueças do «+ 2kπ» — é ele que gera as n raízes distintas. Erro típico: dividir o argumento por n e devolver uma só raiz. E confirma sempre no fim que todas as raízes têm o mesmo módulo: se não tiverem, houve um erro de cálculo.
Soluções — Operações e radiciação
1. zw = (2 × 3) cis(π/4 + π/6) = 6 cis(5π/12). Os módulos multiplicaram-se e os argumentos somaram-se (π/4 + π/6 = 3π/12 + 2π/12 = 5π/12).
2. z/w = (6/2) cis(2π/3 − π/4) = 3 cis(5π/12) (2π/3 − π/4 = 8π/12 − 3π/12 = 5π/12).
3. 1 + i tem módulo √2 e argumento π/4, logo 1 + i = √2 cis(π/4). Por De Moivre: (1 + i)⁸ = (√2)⁸ cis(8 × π/4) = 16 cis(2π) = 16. (Verificação algébrica: (1 + i)² = 2i, (2i)⁴ = 16i⁴ = 16 ✓)
4. √3 + i tem módulo √(3 + 1) = 2 e argumento π/6 (cos θ = √3/2 e sen θ = 1/2), logo √3 + i = 2 cis(π/6). Então (√3 + i)⁶ = 2⁶ cis(6 × π/6) = 64 cis(π) = −64.
5. 1 − i tem módulo √2 e argumento −π/4 (está no 4.º quadrante), logo 1 − i = √2 cis(−π/4). Então (1 − i)⁴ = (√2)⁴ cis(−π) = 4 cis(−π) = −4.
6. (4 cis(π/3)) / (2 cis(π/6)) = (4/2) cis(π/3 − π/6) = 2 cis(π/6) = 2(√3/2 + i × 1/2) = √3 + i (aproximadamente 1,732 + i).
7. As duas raízes quadradas de 4 cis(π/3) são wₖ = 41/2 cis((π/3 + 2kπ)/2), com k = 0, 1: k = 0 → 2 cis(π/6) = √3 + i; k = 1 → 2 cis(7π/6) = −√3 − i. As duas raízes são simétricas em relação à origem e têm módulo 2.
8. Escrevendo 8 = 8 cis(0), as raízes cúbicas são wₖ = 81/3 cis(2kπ/3), k = 0, 1, 2: 2, −1 + √3 i e −1 − √3 i. Os três afixos têm módulo 2 (logo estão todos na circunferência de centro na origem e raio 2) e os argumentos estão espaçados de 2π/3 — os vértices de um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.
9. As raízes de z³ = 1 (isto é, de z³ = 1 cis(0)) têm módulo 1 e argumentos 2kπ/3, com k = 0, 1, 2: z = 1, z = cis(2π/3) = −1/2 + (√3/2)i e z = cis(4π/3) = −1/2 − (√3/2)i. Os três afixos formam um triângulo equilátero inscrito na circunferência trigonométrica. Todas as raízes verificam z³ = 1.
10. z² + 16 = 0 equivale a z² = −16. Escrevendo −16 = 16 cis(π), as raízes quadradas são 4 cis(π/2) = 4i e 4 cis(3π/2) = −4i, isto é, z = ±4i. Verificação: (4i)² = 16i² = −16 ✓ e (−4i)² = 16i² = −16 ✓
11. |z − 1| = 2 significa que a distância do afixo de z ao afixo de 1 (o ponto (1, 0)) é igual a 2. O conjunto é, portanto, a circunferência de centro no ponto (1, 0) e raio 2. Note-se que o conjunto das soluções é formado por todos os complexos cujo afixo está a distância 2 do ponto (1, 0), e não apenas pelos números reais.
12. Com ρ = 4, θ = π/3 e n = 2 o programa imprime: Raizes: e, nas linhas seguintes, 1.732 + 1.0 i e −1.732 − 1.0 i. Estes valores são precisamente as duas raízes quadradas obtidas na questão 7 (√3 + i e −√3 − i), arredondadas a três casas decimais. O programa reconhece que o coeficiente é negativo e imprime o sinal «−» antes do valor absoluto, para que o resultado se leia como uma forma algébrica correta.
Nota: na forma trigonométrica, multiplicar é somar argumentos e elevar é multiplicar o argumento pelo expoente; na radiciação, é o «+ 2kπ» que produz as n raízes distintas. O número de raízes n-ésimas de um complexo não nulo é sempre exatamente n.