Ficha de Matemática — Números complexos: forma algébrica e igualdade de complexos (12.º Ano)
Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre a forma algébrica dos números complexos e a igualdade de complexos: 12 exercícios e soluções.
O que inclui esta ficha
- 12 exercícios sobre a forma algébrica z = a + bi e a igualdade de números complexos
- Identificação da parte real e da parte imaginária
- Reconhecimento de números imaginários puros e de números reais escritos na forma algébrica
- Igualdade de complexos: tradução de uma igualdade em duas condições reais
- Exercícios com um e com dois parâmetros, e classificação de z = (k² − 9) + (k − 3)i
- Um exercício de programação em Python que compara dois números complexos na forma algébrica
- Soluções completas para os 12 exercícios
Competências que desenvolve: representar números complexos na forma algébrica, distinguir a parte real da parte imaginária, classificar complexos como reais ou imaginários puros e estabelecer a igualdade de dois complexos, traduzindo-a em duas equações reais para determinar parâmetros desconhecidos.
Conteúdo programático: Números complexos (Matemática A, 12.º ano): forma algébrica; parte real e parte imaginária; imaginários puros; igualdade de números complexos; determinação de parâmetros por comparação de partes.
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Conteúdo completo
Ficha 2 — Números complexos: forma algébrica e igualdade
12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios
Objetivo: representar números complexos na forma algébrica, identificar a parte real e a parte imaginária, reconhecer números imaginários puros e estabelecer a igualdade de dois números complexos na forma algébrica.
Revisão rápida — a forma algébrica e a igualdade
- Forma algébrica: todo o número complexo se escreve z = a + bi, com a, b ∈ ℝ. O número a é a parte real (Re(z)) e b é a parte imaginária (Im(z)).
- Atenção: a parte imaginária de z = 3 + 6i é 6 e não 6i — a unidade imaginária faz parte da representação, não do valor da parte imaginária.
- Casos particulares: z é real se e só se Im(z) = 0 (por exemplo, 5 = 5 + 0i); z é imaginário puro se e só se Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0 (por exemplo, 3i e −i). Por convenção, o número 0 não se considera imaginário puro.
- Igualdade: dois números complexos na forma algébrica são iguais se e só se tiverem a mesma parte real e a mesma parte imaginária: a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d.
- Uma igualdade, duas condições: uma igualdade entre complexos traduz-se sempre em duas igualdades entre números reais — é isso que permite determinar parâmetros desconhecidos.
- Não confundir: não existe ordem em ℂ, mas a igualdade é uma relação bem definida — só se comparam as duas partes, uma a uma.
Exercícios
1. Partes real e imaginária: indica Re(z) e Im(z) para a) z = 3 + 4i · b) z = −2 − i · c) z = 5i · d) z = −7
2. Imaginários puros: quais dos seguintes números são imaginários puros? a) 2 + 0i · b) 0 + 3i · c) −i · d) 4 · e) 0
3. Igualdade: determina os números reais x e y tais que (x − 1) + (y + 2)i = 3 + 5i.
4. Dois parâmetros: determina a e b reais tais que 2a + (b − 1)i = 6 − 4i.
5. V/F — corrige as falsas: a) todo o número real é um número complexo · b) 5i é um imaginário puro · c) se z tem parte imaginária nula, então z ∈ ℝ · d) dois números complexos são iguais quando têm o mesmo módulo
6. Escreve na forma a + bi: a) 5 + i² · b) 7i + i³ · c) i⁴ − 2
7. Parâmetros: determina o valor de m para o qual z = (m − 3) + 5i é um imaginário puro e o valor de n para o qual w = 4 + (n + 1)i é um número real.
8. Classificação com parâmetro: considera z = (k² − 9) + (k − 3)i, com k ∈ ℝ. Determina os valores de k para os quais z é: a) um número real · b) um imaginário puro.
9. Sistema de condições: determina x e y reais tais que (2x + y) + (x − y)i = 5 + i.
10. Verificação: mostra que os números complexos z = 4 + 0i e w = 2 + 2i não são iguais, indicando qual das partes falha.
11. Justificação: explica por que razão a igualdade entre dois números complexos é equivalente a duas igualdades entre números reais e, com base nisso, justifica porque é que z = 3 + bi só pode ser igual a 3 + 2i quando b = 2.
12. (Python) O programa seguinte compara dois números complexos na forma algébrica. Executa-o para z1 = 3 + 4j e z2 = 3 − 4j e indica exatamente o que é impresso.
z1 = complex(input(‘z1 (na forma a+bj)? ‘)) z2 = complex(input(‘z2 (na forma a+bj)? ‘)) if z1.real == z2.real and z1.imag == z2.imag: print(‘Iguais’) else: print(‘Diferentes’)
Dica: quando a igualdade tem parâmetros, separa sempre as duas condições — a parte real de um lado e a parte imaginária do outro — e resolve cada uma como uma equação real. É o método que funciona em todos os exercícios 3, 4, 7, 8 e 9.
Soluções — Forma algébrica e igualdade
1. a) z = 3 + 4i: Re(z) = 3, Im(z) = 4 · b) z = −2 − i: Re(z) = −2, Im(z) = −1 · c) z = 5i = 0 + 5i: Re(z) = 0, Im(z) = 5 · d) z = −7 = −7 + 0i: Re(z) = −7, Im(z) = 0.
2. São imaginários puros b) 0 + 3i e c) −i: em ambos a parte real é 0 e a parte imaginária é diferente de 0. a) 2 + 0i é real, d) 4 é real e e) 0, apesar de ter parte real nula, não se considera imaginário puro (é o número real 0).
3. Da igualdade resultam duas condições: x − 1 = 3 → x = 4; y + 2 = 5 → y = 3.
4. 2a = 6 → a = 3; b − 1 = −4 → b = −3. Verificação: 2 × 3 + (−3 − 1)i = 6 − 4i ✓
5. a) V — todo o real a se escreve a + 0i · b) V — Re = 0 e Im = 5 ≠ 0 · c) V — se Im(z) = 0, então z = a + 0i com a real, logo z ∈ ℝ · d) F — a igualdade exige partes reais iguais e partes imaginárias iguais; por exemplo 3 + 4i e 4 + 3i têm partes diferentes, mas o mesmo módulo (ambos iguais a 5), sem serem iguais.
6. a) i² = −1, logo 5 + i² = 5 − 1 = 4 · b) i³ = −i, logo 7i + i³ = 7i − i = 6i · c) i⁴ = 1, logo i⁴ − 2 = 1 − 2 = −1.
7. z é imaginário puro quando Re(z) = 0: m − 3 = 0 → m = 3 (nesse caso z = 5i). w é real quando Im(w) = 0: n + 1 = 0 → n = −1 (nesse caso w = 4). Em cada número é o coeficiente ligado ao parâmetro que tem de se anular — o outro termo é fixo e não depende dele.
8. a) z é real quando k − 3 = 0 → k = 3 (nesse caso z = 0). b) z é imaginário puro quando k² − 9 = 0 e k − 3 ≠ 0: de k² = 9 vem k = 3 ou k = −3; excluindo k = 3 (que anula também a parte imaginária), resta k = −3 (nesse caso z = −6i).
9. As duas condições são 2x + y = 5 e x − y = 1. Somando membro a membro: 3x = 6 → x = 2; substituindo, 2 − y = 1 → y = 1. Verificação: (2 × 2 + 1) + (2 − 1)i = 5 + i ✓
10. z = 4 + 0i tem Re(z) = 4 e Im(z) = 0; w = 2 + 2i tem Re(w) = 2 e Im(w) = 2. Falham as duas partes (4 ≠ 2 e 0 ≠ 2), pelo que os números não são iguais — basta que uma das partes seja diferente para que a igualdade não se verifique.
11. Dizer que a + bi = c + di é dizer que o mesmo número complexo tem parte real a e c e parte imaginária b e d; como a parte real e a parte imaginária de um complexo são únicas, tem de ser a = c e b = d. Assim, 3 + bi = 3 + 2i obriga a comparar as duas partes: a parte real já é igual (3 = 3) e a parte imaginária dá b = 2 — b = 2 é a única possibilidade. Se b ≠ 2, a segunda igualdade falha e os complexos são diferentes.
12. Com z1 = 3 + 4j e z2 = 3 − 4j, as partes reais são iguais (3 = 3), mas as partes imaginárias diferem (4 ≠ −4), pelo que o programa imprime: Diferentes. Se ambos fossem 3 + 4j imprimiria Iguais, pois o teste compara exatamente as duas partes — a mesma condição da definição de igualdade.
Nota: distingue sempre parte imaginária (o número real b) de número imaginário — em z = 3 + 6i, Im(z) = 6. E nos exercícios com parâmetros, escreve as duas condições lado a lado antes de resolver: é o que evita perder uma delas.