Ficha de Matemática — Resolução de triângulos (11.º Ano)
Ficha de Matemática A (11.º ano) sobre resolução de triângulos: lei dos senos, lei dos cossenos e medição indireta.
O que inclui esta ficha
- Revisão rápida: razões trigonométricas no triângulo retângulo e teorema de Pitágoras
- Lei dos senos: a / sen A = b / sen B = c / sen C
- Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc cos A
- Critério de escolha: que lei usar em cada conjunto de dados conhecidos
- 12 exercícios: triângulos retângulos, dois lados e ângulo entre eles, três lados e áreas
- Problemas de medição indireta (altitude de edifício, rampa, navegação) e soluções na última página
Competências que desenvolve: resolução de triângulos e medição indireta no 11.º ano — escolher entre a lei dos senos e a lei dos cossenos, determinar lados e ângulos de triângulos retângulos e não retângulos, calcular áreas com o seno do ângulo entre dois lados e resolver problemas de contextos reais.
Conteúdo programático: Geometria — Trigonometria (Matemática A, 11.º ano): resolução de triângulos; lei dos senos e lei dos cossenos; ângulos de elevação; fórmulas trigonométricas da área; aplicações à medição de distâncias inacessíveis.
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Conteúdo completo
Ficha 5 — Resolução de triângulos
11.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios
Objetivo: Aplicar a lei dos senos e a lei dos cossenos a triângulos retângulos e não retângulos, escolher a lei adequada a cada situação e resolver problemas de medição indireta.
Revisão rápida — as duas leis
- Triângulo retângulo: sen θ = cateto oposto / hipotenusa · cos θ = cateto adjacente / hipotenusa · tg θ = cateto oposto / cateto adjacente, com Pitágoras a² = b² + c².
- Lei dos senos (qualquer triângulo, lados numéricos opostos aos ângulos): a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R (R = raio da circunferência circunscrita).
- Lei dos cossenos (qualquer triângulo): a² = b² + c² − 2bc cos A — com A = 90° dá exatamente o teorema de Pitágoras (cos 90° = 0).
- Quando usar cada uma: lei dos senos quando há um lado e o seu ângulo oposto; lei dos cossenos quando há dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados.
- Ângulos: A + B + C = 180°. Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo (e vice-versa).
- Área de um triângulo: Área = (1/2) × b × c × sen A (dois lados e o ângulo entre eles).
| Dados conhecidos | Lei a usar |
|---|---|
| Um lado e o ângulo oposto | senos |
| Dois lados e o ângulo entre eles | cossenos |
| Os três lados | cossenos |
| Dois ângulos e um lado | senos (após achar o 3.º ângulo) |
Exercícios
1. Triângulo retângulo — determina o valor exato pedido: a) catetos 3 e 4 → hipotenusa · b) hipotenusa 10 e um cateto 6 → o outro cateto · c) cateto oposto 5 e hipotenusa 10 → a amplitude do ângulo · d) catetos iguais a 7 → hipotenusa e os ângulos agudos.
2. Lei dos senos: num triângulo ABC, A = 40°, B = 60° e a = 8 cm. Determina C, b e c (2 casas decimais).
3. Lei dos senos: num triângulo ABC, A = 30°, B = 45° e a = 10 cm. Determina C e o lado b (valor exato).
4. Lei dos cossenos: num triângulo ABC, b = 5 cm, c = 7 cm e A = 60°. Determina o lado a (valor exato).
5. Lei dos cossenos (três lados): num triângulo de lados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm, determina a amplitude dos três ângulos (1 casa decimal). Classifica o triângulo quanto aos ângulos.
6. Qual das leis usarias? Justifica em cada caso: a) conheces dois lados e o ângulo entre eles · b) conheces os três lados · c) conheces um lado e os dois ângulos adjacentes · d) conheces um lado, o ângulo oposto e mais um lado.
7. V/F — corrige as falsas: a) A lei dos senos aplica-se a qualquer triângulo · b) Num triângulo retângulo, sen θ = cateto oposto / hipotenusa · c) A lei dos cossenos com A = 90° dá o teorema de Pitágoras · d) Se a² = b² + c², o triângulo é obtusângulo · e) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 360°.
8. Altitude de um edifício: de um ponto A do solo vê-se o topo do edifício sob um ângulo de elevação de 30°. Avançando 20 m em direção ao edifício, num ponto B, o ângulo de elevação passa a ser 60°. Qual é a altura do edifício? (valor exato)
9. Rampa: uma rampa tem 12 m de comprimento e vence um desnível de 3 m. a) Qual é a amplitude do ângulo que a rampa faz com o solo? b) Qual é o comprimento da projeção horizontal da rampa (2 casas decimais)?
10. Completa a tabela (triângulos retângulos — indica os valores em falta, verificando Pitágoras):
| Cateto b | Cateto c | Hipotenusa a | Verificação |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | ||
| 6 | 10 | ||
| 5 | 12 |
11. Navegação: um barco parte de um porto, navega 10 km e muda de rumo, passando a direção das duas etapas a formar um ângulo de 120°. Navega depois mais 8 km. A que distância do porto se encontra? (valor exato e 1 casa decimal)
12. Área e lados: num triângulo ABC, a = 6 cm, b = 8 cm e C = 30°. a) Calcula a área do triângulo · b) Determina o lado c (2 casas decimais) · c) Calcula a amplitude do ângulo A (1 casa decimal).
Dica: desenha sempre o triângulo e marca os dados antes de escolher a lei. E lembra-te: a lei dos cossenos resolve os casos «dois lados + ângulo entre eles» e «três lados»; todos os outros vão pela lei dos senos.
Soluções — Resolução de triângulos
1. a) a = √(9 + 16) = 5 b) c = √(100 − 36) = 8 c) sen θ = 5/10 = 1/2 → θ = 30° d) a = √(49 + 49) = 7√2 e os dois ângulos agudos são 45° cada (catetos iguais ⇒ triângulo retângulo isósceles).
2. C = 180° − 40° − 60° = 80°. Pela lei dos senos: b = a sen B / sen A = 8 × sen 60° / sen 40° = 8 × 0,8660 / 0,6428 ≈ 10,78 cm; c = 8 × sen 80° / sen 40° ≈ 12,26 cm.
3. C = 180° − 30° − 45° = 105°. b = a sen B / sen A = 10 × sen 45° / sen 30° = 10 × (√2/2) ÷ (1/2) = 10√2 cm (≈ 14,14 cm).
4. a² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 25 + 49 − 70 × (1/2) = 39 → a = √39 cm (≈ 6,24 cm).
5. a = 5 (oposto a A), b = 6, c = 7. cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) = (36 + 49 − 25) / 84 = 60/84 = 5/7 → A ≈ 44,4°. cos B = (25 + 49 − 36) / 70 = 38/70 → B ≈ 57,1°. Cos C = (25 + 36 − 49) / 60 = 12/60 = 0,2 → C ≈ 78,5°. Soma ≈ 180° ✓ e o maior ângulo é agudo (78,5° < 90°) → acutângulo.
6. a) cossenos (a² = b² + c² − 2bc cos A) b) cossenos (para obter cada ângulo) c) senos — acha-se primeiro o terceiro ângulo (180° − soma) d) cossenos primeiro (dois lados + o ângulo entre eles; a lei dos senos só depois, para os ângulos em falta).
7. a) V b) V c) V — cos 90° = 0 anula o último termo d) F — a igualdade a² = b² + c² define um triângulo retângulo; num obtusângulo seria a² > b² + c² e) F — a soma é 180°.
8. Seja h a altura e d a distância de A à base. Então h = d tg 30° e h = (d − 20) tg 60°. Igualando: d/√3 = √3(d − 20) → d = 3d − 60 → 2d = 60 → d = 30 m. Logo h = 30 tg 30° = 30/√3 = 10√3 m (≈ 17,32 m).
9. a) sen θ = 3/12 = 1/4 → θ ≈ 14,48° b) projeção = √(12² − 3²) = √135 ≈ 11,62 m.
10. 3 e 4 → a = 5, pois 9 + 16 = 25 | 6 e 10 → c = 8, pois 36 + 64 = 100 | 5 e 12 → a = 13, pois 25 + 144 = 169. (São os ternos pitagóricos 3-4-5, 6-8-10 e 5-12-13.)
11. O ângulo entre os dois percursos é 120°, logo d² = 10² + 8² − 2 × 10 × 8 × cos 120° = 100 + 64 − 160 × (−1/2) = 164 + 80 = 244 → d = √244 = 2√61 km ≈ 15,6 km.
12. a) O ângulo C é formado pelos lados a e b → Área = (1/2) × a × b × sen C = (1/2) × 6 × 8 × (1/2) = 12 cm² b) c² = 36 + 64 − 96 × cos 30° = 100 − 83,14 ≈ 16,86 → c ≈ 4,11 cm c) cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) = (64 + 16,86 − 36) / (2 × 8 × 4,11) = 44,86 / 65,76 ≈ 0,6828 → A ≈ 46,9°.
Nota: identifica sempre qual o lado oposto a qual ângulo antes de substituir na lei — trocar a correspondência é o erro que estraga o exercício todo, mesmo com a fórmula certa.