Ficha de Matemática — Funções racionais: a + b/(x − c) (11.º Ano)

Ficha de Matemática A (11.º ano) sobre funções racionais do tipo a + b/(x − c): assíntotas, sinal e monotonia.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre funções racionais, com soluções completas
• Revisão rápida: domínio, assíntotas vertical (x = c) e horizontal (y = a)
• Interseções com os eixos coordenados
• Estudo do sinal através da fração única e de quadros de sinais
• Monotonia em cada ramo e a razão pela qual a função não é monótona em todo o domínio
• Transformações do gráfico de 1/x (translações e dilatação vertical)
• Problema de custo médio com interpretação da assíntota horizontal

Competências que desenvolve: estudo de funções racionais no 11.º ano — identificar o domínio e as assíntotas a partir da expressão, reduzir a fração única para estudar o sinal, justificar a monotonia ramo a ramo, descrever transformações de gráficos e interpretar assíntotas em contextos reais.

Conteúdo programático: Funções — Funções racionais do tipo a + b/(x − c) (Matemática A, 11.º ano): domínio e assíntotas; interseções com os eixos; sinal e monotonia; transformações do gráfico de 1/x.

Ver todos os recursos de Matemática do 11.º ano →

Conteúdo completo

Ficha 30 — Funções racionais: f(x) = a + b/(x − c)

11.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: Estudar funções do tipo f(x) = a + b/x − c — domínio, interseções com os eixos, sinal, monotonia e assíntotas — e relacionar o seu gráfico com o da função 1/x por transformações.

Revisão rápida — a função a + b/(x − c)

• Domínio: ℝ \ {c} — o valor que anula o denominador fica de fora (é aí que está a assíntota vertical).
• Assíntotas: vertical x = c (o gráfico aproxima-se dela quando x → c, sem a tocar) e horizontal y = a (comportamento no infinito: f(x) → a quando x → ±∞).
• Interseções com os eixos: com Oy calcula-se f(0) (se 0 pertence ao domínio); com Ox resolve-se f(x) = 0.
• Sinal: reduz-se a uma fração única: a + b/x − c = a(x − c) + b/x − c; o sinal obtém-se com um quadro de sinais do numerador e do denominador (atenção: c nunca pertence ao domínio).
• Monotonia: se b > 0 a função é decrescente em cada ramo; se b < 0 é crescente em cada ramo (nunca é monótona em todo o domínio, pois tem dois ramos separados pela assíntota).
• Transformações de 1/x: b/x − c + a obtém-se a partir de 1/x por: translação horizontal de c unidades, dilatação vertical de fator |b| (espelhando se b < 0) e translação vertical de a unidades.

Exercícios

1. Domínio e assíntotas: para f(x) = 2 + 3/(x − 1), indica o domínio e as equações das assíntotas vertical e horizontal.

2. Interseções com os eixos: determina os pontos de interseção do gráfico de f(x) = 2 + 3/(x − 1) com os eixos coordenados.

3. Estudo do sinal: estuda o sinal de f(x) = 2 + 3/(x − 1), escrevendo-a como fração única e usando um quadro de sinais.

4. Monotonia: justifica que f(x) = 2 + 3/(x − 1) é decrescente em cada um dos ramos do seu domínio. A função é decrescente em todo o domínio? Explica.

5. Transformações: descreve, por passos, as transformações que levam o gráfico de y = 1/x ao gráfico de y = 3/(x − 2) + 1.

6. Assíntotas: indica o domínio e as assíntotas de g(x) = −1/(x + 2).

7. Interseções: determina as interseções de g(x) = −1/(x + 2) + 1 com os eixos coordenados.

8. Equação: resolve 2 + 3/(x − 1) = 1.

9. Inequação: resolve 2 + 3/(x − 1) > 0, indicando o conjunto-solução.

10. Determinar a expressão: escreve a expressão de uma função do tipo f(x) = 3 + b/(x + 1) cujo gráfico passa pelo ponto (0, 1), e indica as suas assíntotas.

11. V/F — corrige as falsas: a) o domínio de f(x) = a + b/(x − c) é ℝ \ {c} · b) a reta y = a é assíntota horizontal · c) se b > 0 a função é crescente em cada ramo · d) o gráfico de f(x) = a + b/(x − c), com b ≠ 0, nunca interseta a assíntota horizontal · e) f(x) = 1/x tem assíntotas x = 0 e y = 0.

12. Problema: o custo médio por peça, em euros, ao produzir x milhares de peças é C(x) = 4 + 8/(x + 1). a) Qual é o custo médio tendencial para produções muito grandes (x → +∞)? b) A partir de quantas peças o custo médio não excede 5 € por peça?

Dica: transforma sempre a expressão numa fração única antes de estudar o sinal — com duas parcelas é fácil enganar-se. E lembra-te: a assíntota vertical nunca pertence ao domínio, por isso nos quadros de sinais a coluna de c fica aberta (∄).

Soluções — Funções racionais

1. Domínio: ℝ \ {1}. Assíntota vertical: x = 1; assíntota horizontal: y = 2.

2. Com Oy: f(0) = 2 + 3/(0 − 1) = 2 − 3 = −1 → ponto (0, −1). Com Ox: 2 + 3/(x − 1) = 0 ⇔ 3/(x − 1) = −2 ⇔ x − 1 = −3/2 ⇔ x = −1/2 → ponto (−1/2, 0).

3. Fração única: 2 + 3/(x − 1) = [2(x − 1) + 3]/(x − 1) = (2x + 1)/(x − 1). Zeros do numerador: x = −1/2; zero do denominador: x = 1 (excluído). Quadro de sinais: para x < −1/2, (−)/(−) = positivo; em ]−1/2, 1[, (+)/(−) = negativo; para x > 1, (+)/(+) = positivo. Logo f > 0 em ]−∞, −1/2[ ∪ ]1, +∞[ e f < 0 em ]−1/2, 1[.

4. Como b = 3 > 0, em cada ramo a função é decrescente (quando x aumenta dentro de um ramo, o valor de 3/(x − 1) diminui). Não é decrescente em todo o domínio: entre os dois ramos existe a assíntota x = 1, e por exemplo f(0) = −1 < f(2) = 5 — a função «salta» de −∞ para +∞, pelo que a monotonia só se afirma ramo a ramo.

5. Partindo de y = 1/x: (1) translação horizontal de 2 unidades para a direita → y = 1/(x − 2); (2) dilatação vertical de fator 3 → y = 3/(x − 2); (3) translação vertical de 1 unidade para cima → y = 3/(x − 2) + 1. Assíntotas finais: x = 2 e y = 1.

6. Domínio: ℝ \ {−2}. Assíntota vertical: x = −2; assíntota horizontal: y = 0 (a = 0).

7. Com Oy: g(0) = −1/(0 + 2) + 1 = −1/2 + 1 = 1/2 → ponto (0, 1/2). Com Ox: −1/(x + 2) + 1 = 0 ⇔ 1/(x + 2) = 1 ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = −1 → ponto (−1, 0).

8. 2 + 3/(x − 1) = 1 ⇔ 3/(x − 1) = −1 ⇔ x − 1 = −3 ⇔ x = −2 (pertence ao domínio ✓).

9. Usando a fração única: (2x + 1)/(x − 1) > 0. Pelo quadro de sinais da questão 3, o quociente é positivo em ]−∞, −1/2[ ∪ ]1, +∞[.

10. f(0) = 3 + b/(0 + 1) = 3 + b = 1 → b = −2, logo f(x) = 3 − 2/(x + 1). Assíntotas: x = −1 (vertical) e y = 3 (horizontal).

11. a) V b) V c) F — se b > 0 a função é decrescente em cada ramo (crescente é com b < 0) d) V — como b ≠ 0, a equação a + b/(x − c) = a não tem solução e) V.

12. a) Quando x → +∞, 8/(x + 1) → 0, logo C(x) → 4 € por peça (a assíntota horizontal y = 4 é o custo médio mínimo tendencial) b) C(x) ≤ 5 ⇔ 4 + 8/(x + 1) ≤ 5 ⇔ 8/(x + 1) ≤ 1 ⇔ (com x + 1 > 0) x + 1 ≥ 8 ⇔ x ≥ 7. Como x está em milhares de peças, é preciso produzir 7 000 peças (ou mais).

Nota: sempre que a inequação envolve um denominador, escreve a fração única e usa o quadro de sinais — nunca «passes a multiplicar» o denominador sem saber o seu sinal.