Ficha de Matemática — Arranjos e permutações (11.º Ano)
Ficha de Matemática A (11.º ano) sobre arranjos completos, arranjos simples e permutações.
O que inclui esta ficha
- 12 exercícios sobre arranjos e permutações, com soluções completas
- Revisão rápida: arranjo completo (nᵏ), arranjo simples (ⁿAₖ) e permutação (n!)
- Tabela-resumo com os casos de repetição permitida e não permitida
- Contagens com restrições: códigos, números, senhas mistas e cargos distintos
- Anagramas com letras repetidas (n! / (p! q! …))
- Palavras-sinal para decidir quando a ordem dos elementos é relevante
Competências que desenvolve: raciocínio combinatório do 11.º ano — decidir se a ordem é relevante e se há repetição, aplicar corretamente as fórmulas dos arranjos e das permutações, tratar restrições de posição e resolver problemas de contagem com elementos repetidos.
Conteúdo programático: Matemática Discreta — Introdução à contagem (Matemática A, 11.º ano): arranjos completos; arranjos simples; permutações; permutações com elementos repetidos.
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Conteúdo completo
Ficha 16 — Arranjos e permutações
11.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios
Objetivo: Distinguir arranjos completos, arranjos simples e permutações, aplicar as respetivas fórmulas e resolver problemas de contagem em que a ordem dos elementos é relevante.
Revisão rápida — quando a ordem importa
- Arranjo completo: escolher k elementos de um conjunto de n, com repetição permitida, em que a ordem conta → nᵏ.
- Arranjo simples: escolher k elementos distintos de um conjunto de n (sem repetição), em que a ordem conta → ⁿAₖ = n! / (n − k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1).
- Permutação: ordenar todos os n elementos distintos → ⁿPₙ = n! (é o caso particular de arranjo simples com k = n).
- Casos com elementos repetidos: n elementos com grupos de iguais de tamanhos p, q, … → n! / (p! × q! × …) (anagramas).
- Palavras-sinal: «código», «pódio», «classificação», «senha», «cargo», «anagrama» → a ordem interessa. Se a ordem não interessar, usam-se combinações (ficha seguinte).
| Situação | Repetição | Fórmula |
|---|---|---|
| Arranjo completo | permitida | nᵏ |
| Arranjo simples | não | n! / (n − k)! |
| Permutação | não (usa todos) | n! |
| Permutação com repetidos | grupos iguais | n! / (p! q! …) |
Exercícios
1. Pódio: numa corrida participam 8 atletas. Quantas classificações diferentes são possíveis para os três primeiros lugares (ouro, prata e bronze)?
2. Código de 3 dígitos (0 a 9): a) quantos códigos existem com repetição permitida? b) e sem repetição?
3. Números de 4 algarismos: a) quantos existem no total (o primeiro não pode ser 0)? b) quantos têm os quatro algarismos distintos?
4. Cargos distintos: numa turma de 12 alunos vão eleger-se um presidente e um secretário. Quantas escolhas diferentes são possíveis?
5. Ordenações: a) de quantas formas se podem arrumar 6 livros diferentes numa estante? b) e se 3 desses livros forem iguais entre si?
6. Anagramas: quantas palavras (com ou sem sentido) se formam com as letras de a) LIVRO · b) BANANA?
7. Fórmulas: calcula a) ⁷A₂ · b) ¹⁰A₃ · c) ⁶A₆ · d) simplifica ⁿA₂.
8. Com restrição: quantos números de 3 algarismos são pares? (o primeiro não pode ser 0)
9. Senha mista: uma senha tem 2 letras distintas (de um alfabeto de 26) seguidas de 2 dígitos distintos (0 a 9). Quantas senhas diferentes existem?
10. Baralho: retiram-se 3 cartas, uma a uma, de um baralho de 52 cartas, registando a ordem. Quantas sequências diferentes se podem obter?
11. V/F — corrige as falsas: a) ⁵A₂ = 20 · b) ⁴A₄ = 4! · c) num arranjo completo a repetição não é permitida · d) BANANA tem 6! / (3! × 2!) anagramas · e) ⁸A₃ = 8 × 7 × 6.
12. Problema: numa turma de 10 alunos pretende-se formar uma comissão com três cargos distintos (presidente, tesoureiro e secretário). Quantas comissões diferentes se podem formar? Explica porque é que a ordem dos cargos é relevante.
Dica: começa por responder a duas perguntas — «pode haver repetição?» e «a ordem interessa?». Só depois escolhes a fórmula. E em problemas com restrições, trata primeiro a posição restrita (por exemplo, o primeiro algarismo de um número).
Soluções — Arranjos e permutações
1. ⁸A₃ = 8 × 7 × 6 = 336 classificações (sem repetição, porque o mesmo atleta não pode ocupar dois lugares).
2. a) 10³ = 1 000 códigos (arranjo completo) b) ¹⁰A₃ = 10 × 9 × 8 = 720 códigos (arranjo simples).
3. a) 9 × 10 × 10 × 10 = 9 000 números b) 9 × 9 × 8 × 7 = 4 536 números (o 1.º algarismo tem 9 hipóteses e cada seguinte perde uma).
4. ¹²A₂ = 12 × 11 = 132 escolhas (presidente e secretário são cargos distintos: a ordem conta).
5. a) 6! = 720 arrumações b) 6! / 3! = 720 / 6 = 120 arrumações (cada arrumação é contada 3! vezes por causa dos livros iguais).
6. a) 5! = 120 anagramas b) 6! / (3! × 2!) = 720 / (6 × 2) = 720 / 12 = 60 anagramas (3 letras A e 2 letras N iguais).
7. a) ⁷A₂ = 7 × 6 = 42 b) ¹⁰A₃ = 10 × 9 × 8 = 720 c) ⁶A₆ = 6! = 720 (arranjo que usa todos os elementos = permutação) d) ⁿA₂ = n × (n − 1) = n² − n.
8. 9 × 10 × 5 = 450 números: 9 hipóteses para o 1.º algarismo, 10 para o 2.º e 5 para o último (só 0, 2, 4, 6 ou 8, para o número ser par).
9. 26 × 25 × 10 × 9 = 58 500 senhas (as letras não repetem, 26 e 25; os dígitos também não, 10 e 9).
10. ⁵²A₃ = 52 × 51 × 50 = 132 600 sequências (cada carta retirada não volta ao baralho).
11. a) V — 5 × 4 = 20 b) V — ⁴A₄ = 4! = 24 c) F — no arranjo completo a repetição é permitida (fórmula nᵏ) d) V — é o caso dos anagramas com elementos repetidos e) V — 8 × 7 × 6 = 336.
12. ¹⁰A₃ = 10 × 9 × 8 = 720 comissões. A ordem é relevante porque os cargos são diferentes: a mesma terna de alunos dá comissões distintas conforme quem é presidente, tesoureiro ou secretário (3! = 6 arrumações por terna).
Nota: indica sempre a fórmula usada (nᵏ, ⁿAₖ, n! ou n!/(p! q!)) antes de calcular — é isso que mostra que identificaste corretamente o tipo de contagem.