Partilha proporcional: Hondt e St. Lagué — Ficha (10.º Ano)

Ficha de Matemática A (10.º ano) sobre modelos matemáticos na partilha proporcional de mandatos.

O que inclui esta ficha

• Revisão rápida: partilha proporcional, quocientes de Hondt (v/1, v/2, …) e de St. Lagué (v/1, v/3, …), contexto legal português
• 12 exercícios: cálculo de quocientes, comparação directa dos métodos, caso autárquico, europeias de 1987, maior resto, partilha de computadores por departamentos + algoritmo Python
• Soluções completas incluídas

Competências que desenvolve: Usar modelos matemáticos para explicar sistemas e estudar efeitos de variáveis; interpretar informação e construir argumentos para fundamentar decisões (Competência em Matemática — Matemática para a Cidadania).

Conteúdo programático: Tema 1 — Modelos matemáticos para a cidadania: modelos matemáticos na partilha (Hondt e St. Lagué).

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Conteúdo completo

Ficha 2 — Modelos matemáticos na partilha: método de Hondt e método de St. Lagué

10.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: Compreender a partilha proporcional de mandatos, aplicar os métodos de Hondt e de St. Lagué, comparar vantagens e limitações e perceber que métodos diferentes geram distribuições diferentes para a mesma votação.

Revisão rápida

• Partilha proporcional: os M mandatos são atribuídos proporcionalmente aos votos — mas votos/mandatos raramente dão números inteiros → cada método resolve o arredondamento à sua maneira.
• Método de Hondt: gera os quocientes v/1, v/2, v/3, v/4, … de cada lista; atribui cada mandato à maior quociente ainda disponível.
• Método de St. Lagué: idêntico, mas só com divisores ímpares: v/1, v/3, v/5, … — o 2.º mandato de uma lista «custa» mais caro → tende a favorecer as listas pequenas face a Hondt.
• Contexto: eleições autárquicas (assembleias municipais/freguesias) e legislativas (Hondt por círculo) em Portugal; St. Lagué usado noutros países (Alemanha federal). Exemplo clássico de divergência: eleições europeias de 1987.

Exercícios

1. Por que não basta atribuir mandatos «ao vencedor» numa lista de 6 lugares? Define partilha proporcional e a ideia que visa (1 frase).

2. 3 listas — A = 6 800 votos, B = 5 200, C = 3 300 (total = 15 300). Calcula as % (1 casa) A __ B __ C __ e os mandatos «teóricos» com 6 lugares: A __ B __ C __ (soma 6?) __

3. Hondt — caso pequeno: A = 100, B = 60, C = 40 votos; 3 mandatos. a) escreve os quocientes /1, /2, /3 de cada lista b) ordena os 9 quocientes e atribui os 3 mandatos → A __ B __ C __

4. St. Lagué — mesmo caso: a) quocientes com divisores 1, 3, 5 b) atribui os 3 mandatos → A __ B __ C __ c) os métodos deram o mesmo resultado? __ — o que isto mostra? (1 frase)

5. Hondt — caso grande: com A = 6 800, B = 5 200, C = 3 300 e 6 mandatos: monta a tabela de quocientes (/1…/4) e atribui → A __ B __ C __ — compara com os mandatos teóricos do ex. 2: o método arredonda para cima ou para baixo em cada caso?

6. Vantagens e limitações: a) por que é que Hondt tende a favorecer listas grandes? (compara o «preço» do 2.º mandato: v/2 vs. v/3) b) por que é que St. Lagué corrige isso? c) limitação comum dos dois: __

7. Contexto autárquico: freguesia com 6 mandatos — A (Partido X) 1 540 votos, B 1 120, C 980. Aplica Hondt e atribui os 6 mandatos (tabela mínima /1…/3).

8. Europeias 1987: os documentos oficiais mostram que métodos de partilha diferentes geraram distribuições diferentes com os mesmos votos. a) por que acontece? (arredondamentos sucessivos) b) o que se conclui sobre a «neutralidade» do método?

9. Algoritmo (Python):

v=[6800,5200,3300] divisores=[1,2,3,4] q=[] for i in range(len(v)): for d in divisores: q.append((v[i]/d, i)) q.sort(reverse=True) print(q[:6])

a) o que guarda cada tuplo __ b) para St. Lagué, que linha se altera? __ c) imprime os 6 primeiros → mandatos de A, B, C: __

10. Maior resto (sem método de quocientes): com 4 mandatos e A = 50%, B = 30%, C = 20%: a) mandatos exatos __ b) parte inteira: __ + resto que sobra: __ c) distribuição final: A __ B __ C __ (soma 4?) __

11. Partilha não eleitoral: uma escola distribui 10 computadores por 3 departamentos com 18, 14 e 8 professores. a) por departamento, quantos teóricos? __ b) aplica o maior resto → A __ B __ C __ c) é o mesmo que Hondt dá? Testa (divisores /1, /2).

12. Produção: A vossa associação vai repartir 7 lugares entre 3 listas (imagina votações: 142, 106, 62). Escolhe UM método e justifica em 3 frases: 2 vantagens (com números) + 1 limitação do método escolhido.

Soluções — Ficha 2: Partilha proporcional (Hondt e St. Lagué)

1. Com 6 lugares, dar tudo ao vencedor desperdiça votos das outras listas — a partilha proporcional distribui os mandatos na proporção dos votos, para que a assembleia reflita o eleitorado (decisão coletiva justa).

2. A = 6800/15300 = 44,4% · B = 34,0% · C = 21,6% → teóricos (×6): A = 2,67 · B = 2,04 · C = 1,30 (soma 6,01 por arredondamento).

3. a) A: 100, 50, 33,3 · B: 60, 30, 20 · C: 40, 20, 13,3 b) ordenados: 100(A), 60(B), 50(A), 40(C), 33,3(A), 30(B)… → A = 2, B = 1, C = 0.

4. a) A: 100, 33,3, 20 · B: 60, 20, 12 · C: 40, 13,3, 8 b) ordenados: 100(A), 60(B), 40(C) → A = 1, B = 1, C = 1 c) Não — com os mesmos votos, a escolha do método mudou o vencedor do 3.º mandato: nenhum método é neutro.

5. Quocientes: A: 6800, 3400, 2266,7, 1700 · B: 5200, 2600, 1733,3, 1300 · C: 3300, 1650, 1100. Top 6: 6800(A), 5200(B), 3400(A), 3300(C), 2600(B), 2266,7(A) → A = 3, B = 2, C = 1. vs. teóricos (2,67 / 2,04 / 1,30): A sobe (2,67 → 3), B mantém (2,04 → 2), C desce (1,30 → 1) — cada arredondamento é decidido pela ordem na fila de quocientes.

6. a) em Hondt o 2.º mandato custa v/2 (meio valor — barato para quem tem muitos votos), enquanto St. Lagué exige v/3 → listas grandes avançam mais depressa em Hondt b) St. Lagué torna mais caros os mandatos intermédios → dá mais hipótese às listas pequenas (ex. 4: C entra) c) ambos dependem dos círculos/partição — podem ser «afinados» para favorecer alguém (limitação democrática).

7. Total = 3 640. Quocientes A: 1540, 770, 513,3 · B: 1120, 560, 373,3 · C: 980, 490, 326,7. Top 6: 1540(A), 1120(B), 980(C), 770(A), 560(B), 513,3(A) → A = 3, B = 2, C = 1.

8. a) cada mandato é um arredondamento sucessivo do quociente — quem é 1.º na fila captura o lugar antes de outro; mudar os divisores muda a fila b) o método não é neutro: a regra é uma escolha política que influencia a distribuição final.

9. a) tuplo = (quociente, índice da lista) — voto da lista i dividido pelo divisor atual b) divisores=[1,3,5] c) ordenado: (6800,0), (5200,1), (3400,0), (3300,2), (2600,1), (2266.67,0) → A = 3, B = 2, C = 1 (índices 0,1,0,2,1,0).

10. a) A = 2,0 · B = 1,2 · C = 0,8 b) parte inteira: 2 + 1 + 0 = 3 · resto maior = C (0,8) c) A = 2, B = 1, C = 1 (soma 4 ✓).

11. a) total = 40 professores → teóricos: A = 18/40×10 = 4,5 · B = 14/40×10 = 3,5 · C = 8/40×10 = 2,0 b) parte inteira: 4+3+2 = 9 · sobra 1 lugar → maior resto = empate A (0,5) e B (0,5) → fica a A (lista maior) → A = 5, B = 3, C = 2 (soma 10 ✓) c) Hondt: quocientes A: 18, 9, 6, 4,5, 3,6 · B: 14, 7, 4,67, 3,5 · C: 8, 4, 2,67 → fila: 18A, 14B, 9A, 8C, 7B, 6A, 4,67B, 4,5A, 4C, 3,6A → A = 5, B = 3, C = 2 — coincidem neste caso (o empate de restos foi para A, como a fila de Hondt faria).

12. (modelo) Escolho Hondt: 1) é o método legal nas legislativas — comparável com resultados reais (142/106/62 → total 310: A 45,8%, B 34,2%, C 20,0%) 2) quocientes fáceis de calcular em folha de cálculo — 7 lugares dão A = 4, B = 2, C = 1 (fila: 142, 71, 47,3… / 106, 53, 35,3… / 62, 31…) · limitação: St. Lagué daria mais hipótese às listas pequenas — a escolha do método altera o resultado, logo não é neutra.