Geometria analítica no plano — Ficha (10.º Ano)

Ficha de Matemática A (10.º ano) sobre geometria analítica no plano (Geometria analítica).

O que inclui esta ficha

• Revisão rápida: distância (Pitágoras), ponto médio, equação da reta (geral e reduzida), semiplanos, mediatriz como locus, circunferência (reduzida e geral) e reflexões
• 12 exercícios: retas por dois pontos, retas especiais, teste de semiplanos, interseção reta × circunferência, circunscrita por mediatrizes (6-8-10) + algoritmo Python de distância e ponto médio
• Soluções completas incluídas

Competências que desenvolve: Traduzir figuras em equações e equações em figuras; construir mediatrizes e circunferências; resolver problemas de interseção e localização (Competência em Matemática — Geometria).

Conteúdo programático: Tema 4 — Geometria: geometria analítica no plano.

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Conteúdo completo

Ficha 20 — Geometria analítica no plano

10.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: Usar o referencial cartesiano: calcular distâncias e pontos médios; obter reflexões e meia-volta; determinar equações de retas (geral e reduzida), semiplanos e mediatriz; trabalhar a circunferência (equação reduzida e geral).

Revisão rápida — fórmulas essenciais

Distância: d(A, B) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] · Ponto médio: M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2)

Reta: reduzida y = a·x + b (a = declive, b = corte OY) · geral Ax + By + C = 0 · por 2 pontos: a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁).

Verticais/horizontais: x = k (declive indefinido) · y = k (a = 0) · Perpendiculares: a₂ = −1/a₁ (retas ∥: a iguais).

Semiplanos: em Ax + By + C, os pontos dão valor > 0 (um lado), = 0 (retá) ou < 0 (outro lado) — basta testar um ponto.

Mediatriz de AB: passa pelo ponto médio M, ⊥ a AB — é o locus dos pontos com d(P,A) = d(P,B).

Circunferência: reduzida (x − a)² + (y − b)² = r² [centro (a, b), raio r] · geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0 → centro (−D/2; −E/2), r² = D²/4 + E²/4 − F.

Reflexões de P(x, y): em OX → (x, −y) · em OY → (−x, y) · meia-volta pela origem → (−x, −y).

Exercícios

1. Distância: a) A(1, 2), B(4, 6): d = √(9 + 16) = __ b) distância de C(3, −4) à origem __ c) que triângulo se esconde em cada cálculo? (relação de Pitágoras — 1 frase)

2. Ponto médio: A(1, 2), B(4, 6): M = __ — e o ponto médio de (−3, 5) e (3, −5): __ (que ponto é esse?).

3. Reflexões e meia-volta: P(3, 5): sobre OX → __ · sobre OY → __ · meia-volta pela origem → __ · o que têm em comum os três resultados?

4. Reta por 2 pontos: por (0, −1) e (3, 5): a) a = Δy/Δx = __ b) b = __ c) reduzida: y = __ d) geral: __ = 0.

5. Retas especiais: x = 4 → declive __ · y = −2 → declive __ · a reta perpendicular a y = (2/3)x + 1 tem declive __.

6. Semiplanos: em r: 2x − y − 1 = 0: a) valor em (0, 0) = __ → que lado? b) valor em (2, 0) = __ c) e (1, 1)? → está sobre a reta? __ d) desenha mentalmente: onde fica a expressão > 0?

7. Mediatriz analítica: A(1, 2), B(4, 6): a) declive de AB = __ b) declive da mediatriz = __ (⊥) c) equação: passa por M(2,5; 4) → y − 4 = −0,75(x − 2,5) → reduzida: y = __ d) confirma d(P, A) = d(P, B) para P(6,5; 1): __ = __

8. Circunferência: a) centro (3, −2), r = 5 → reduzida __ → expande: geral __ = 0 b) de x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 lê: centro __ r = __ (mesma circunferência?).

9. Reta × circunferência: x² + y² = 25 com y = 4: a) substitui → x² = 9 → x = __ b) pontos __ c) distância entre eles: __ — secante, tangente ou externa? __

10. Circunscrita por mediatrizes: A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8): a) mediatriz de AB: x = __ b) mediatriz de AC: y = __ c) centro O = __ r = d(O, A) = __ — confirma com a hipotenusa BC = __ (relação do retângulo).

11. Algoritmo (Python):

import math A=(1,2); B=(4,6) d=math.dist(A,B) print(d, ((A[0]+B[0])/2, (A[1]+B[1])/2))

a) impresso __ b) muda B para (4, −2) → novo d? __ — porquê? c) como fazias d «à mão» com a raiz?

12. Plano/esconderijo: duas referências A e B no mapa; quer-se o ponto que fica (1) a igual distância de A e B e (2) a 5 km do ponto médio M. a) que duas construções usas? (mediatriz + …) b) quantos pontos de solução saem? __ c) 2 razões de robustez + 1 fonte de erro real.

Soluções — Ficha 20: Geometria analítica

1. a) d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √(9+16) = √25 = 5 b) √(3² + (−4)²) = √(9+16) = 5 c) cada distância é a hipotenusa de um retângulo com lados |Δx| e |Δy| — a fórmula é Pitágoras no referencial.

2. M = ((1+4)/2 ; (2+6)/2) = (2,5 ; 4) · segundo: ((−3+3)/2 ; (5−5)/2) = (0 ; 0) — é a origem (os pontos são simétricos pela origem: um é a meia-volta do outro).

3. OX: (3, −5) · OY: (−3, 5) · meia-volta: (−3, −5) — em comum: mesmo par de valores |x|, |y| (todos a mesma distância dos eixos/origem); só mudam os sinais das coordenadas refletidas.

4. a) (5 − (−1))/(3 − 0) = 6/3 = 2 b) corte OY: b = −1 (o ponto (0, −1)) c) y = 2x − 1 d) 2x − y − 1 = 0 (ou 2x − y − 1 = 0 com A = 2, B = −1, C = −1).

5. x = 4: indefinido (vertical, Δx = 0) · y = −2: 0 (horizontal) · perpendicular a 2/3: −1/(2/3) = −3/2 = −1,5 (retas ∥ tinham o mesmo a; ⊥ inverte e muda o sinal).

6. a) 2·0 − 0 − 1 = −1 < 0 → lado do valor negativo b) 4 − 0 − 1 = 3 > 0 c) 2 − 1 − 1 = 0 → sim, (1, 1) está sobre a reta (é zero, logo nem um nem outro semiplano — pertence à fronteira) d) Ax + By + C > 0 corresponde ao meio-plano onde testar outro ponto dá positivo — a reta divide o plano em exatamente duas regiões.

7. a) (6−2)/(4−1) = 4/3 b) −1/(4/3) = −3/4 = −0,75 c) y = −0,75x + 1,875 + 4 → y = −0,75x + 5,875 (ou y = −¾x + 47/8) d) P(6,5; 1): d(P,A) = √(5,5² + 1²) = √31,25 ≈ 5,59 · d(P,B) = √(2,5² + 5²) = √31,25 ≈ 5,59 — iguais ✓ (a mediatriz garante-o para todos os pontos dela).

8. a) (x − 3)² + (y + 2)² = 25 → expande: x² + y² − 6x + 4y + 13 = 25 → x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 b) centro = (−D/2 ; −E/2) = (3; −2) · r² = 9 + 4 + 12 = 25 → r = 5 → sim, a mesma circunferência (as duas formas são equivalentes).

9. a) x² + 16 = 25 → x² = 9 → x = ±3 b) pontos (3, 4) e (−3, 4) c) distância = 6 — secante (corta em 2 pontos; a distância do centro à reta y = 4 é 4 < r = 5).

10. a) AB horizontal sobre y = 0 → mediatriz vertical pelo médio (3, 0): x = 3 b) AC vertical sobre x = 0 → mediatriz horizontal pelo médio (0, 4): y = 4 c) O = (3, 4) · r = √(9+16) = 5 · hipotenusa BC = √(6² + 8²) = 10 → no retângulo, circunscrita tem centro no médio da hipotenusa e r = 10/2 = 5 ✓ (confirma a Ficha 19).

11. a) d = 5.0, médio = (2.5, 4.0) → impresso 5.0 (2.5, 4.0) b) Δx = 3, Δy = −4 → d = √(9+16) = 5.0 outra vez — a direção não importa, só as diferenças ao quadrado c) d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √25 = 5 (os quadrados anulam os sinais das diferenças).

12. a) (1) mediatriz de AB — todos os pontos dela têm d(P, A) = d(P, B) (2) circunferência de raio 5 km centrada em M — os pontos dela estão a 5 km de M · solução = interseção das duas figuras b) como M pertence à própria mediatriz, a circunferência corta-a em 2 pontos (simétricos, a 5 km de M para cada lado da linha AB) c) robustez: (1) a mediatriz é exata por construção (depende só de A e B, não da escala) (2) as duas construções são independentes — o cruzamento «confirma-se» visualmente · erro real: imprecisão na leitura das coordenadas de A/B (mapa/GPS) desloca toda a mediatriz.