Funções (9.º Ano) — Resumo
No 9.º ano, aprofundam-se dois tipos fundamentais de funções: a função quadrática e a proporcionalidade inversa. Este resumo apresenta uma visão comparativa de ambas, destacando as suas diferenças, propriedades e representações gráficas.
Função quadrática (y = ax²)
A função quadrática do tipo f(x) = ax², com a ≠ 0, é uma função polinomial de grau 2 cujo gráfico é uma parábola de vértice na origem (0,0).
📌 Função quadrática
a — coeficiente que determina a abertura e a concavidade da parábola
- Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (mínimo).
- Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (máximo).
- Quanto maior o valor de |a|, mais “fechada” é a parábola.
- O domínio é ℝ e o contradomínio é [0, +∞[ (se a > 0) ou ]-∞, 0] (se a < 0).
- A função é par: f(x) = f(-x). O eixo dos yy é o eixo de simetria.
Proporcionalidade inversa (y = k/x)
A função de proporcionalidade inversa é do tipo f(x) = k/x, com k ≠ 0 e x ≠ 0. O seu gráfico é uma hipérbole com duas ramos, um em cada quadrante.
📌 Proporcionalidade inversa
k — constante de proporcionalidade inversa
- Se k > 0, a hipérbole situa-se no 1.º e 3.º quadrantes (ramos decrescentes).
- Se k < 0, a hipérbole situa-se no 2.º e 4.º quadrantes (ramos crescentes).
- O domínio é ℝ\{0} e o contradomínio é ℝ\{0}.
- Os eixos coordenados são assíntotas — a curva aproxima-se deles sem nunca os tocar.
- O produto x × y = k é constante (daí o nome proporcionalidade inversa).
Tabela comparativa
| Propriedade | y = ax² | y = k/x |
|---|---|---|
| Nome | Função quadrática | Proporcionalidade inversa |
| Gráfico | Parábola | Hipérbole |
| Domínio | ℝ | ℝ \{0} |
| Contradomínio | [0, +∞[ ou ]-∞, 0] | ℝ \{0} |
| Simetria | Par (eixo yy) | Ímpar (origem) |
| Variação | Cresce/decresce consoante a | Decresce/cresce consoante k |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Função quadrática: Dada a função f(x) = 2x², calcula f(2) e f(-3).
Resolução:
f(2) = 2 × (2)² = 2 × 4 = 8
f(-3) = 2 × (-3)² = 2 × 9 = 18
Exemplo 2 — Proporcionalidade inversa: Dada a função f(x) = 6/x, calcula f(2) e f(-3).
Resolução:
f(2) = 6/2 = 3
f(-3) = 6/(-3) = -2
O que inclui este PDF
- Tabela comparativa completa entre função quadrática e proporcionalidade inversa.
- Explicação detalhada de cada tipo de função com exemplos práticos.
- Exercícios resolvidos passo a passo.
- Exercícios propostos com soluções no final.
- Dicas e erros comuns a evitar.
Para mais recursos, vê também: fichas de exercícios de Matemática (9.º ano).