Funções (9.º Ano) — Resumo
No 9.º ano, aprofundam-se dois tipos fundamentais de funções: a função quadrática e a proporcionalidade inversa. Este resumo apresenta uma visão comparativa de ambas, destacando as suas diferenças, propriedades e representações gráficas.
Função quadrática (y = ax²)
A função quadrática do tipo f(x) = ax², com a ≠ 0, é uma função polinomial de grau 2 cujo gráfico é uma parábola de vértice na origem (0,0).
📌 Função quadrática
a — coeficiente que determina a abertura e a concavidade da parábola
- Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (mínimo).
- Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (máximo).
- Quanto maior o valor de |a|, mais “fechada” é a parábola.
- O domínio é ℝ e o contradomínio é [0, +∞[ (se a > 0) ou ]-∞, 0] (se a < 0).
- A função é par: f(x) = f(-x). O eixo dos yy é o eixo de simetria.
Proporcionalidade inversa (y = k/x)
A função de proporcionalidade inversa é do tipo f(x) = k/x, com k ≠ 0 e x ≠ 0. O seu gráfico é uma hipérbole com duas ramos, um em cada quadrante.
📌 Proporcionalidade inversa
k — constante de proporcionalidade inversa
- Se k > 0, a hipérbole situa-se no 1.º e 3.º quadrantes (ramos decrescentes).
- Se k < 0, a hipérbole situa-se no 2.º e 4.º quadrantes (ramos crescentes).
- O domínio é ℝ{0} e o contradomínio é ℝ{0}.
- Os eixos coordenados são assíntotas — a curva aproxima-se deles sem nunca os tocar.
- O produto x × y = k é constante (daí o nome proporcionalidade inversa).
Tabela comparativa
| Propriedade | y = ax² | y = k/x |
|---|---|---|
| Nome | Função quadrática | Proporcionalidade inversa |
| Gráfico | Parábola | Hipérbole |
| Domínio | ℝ | ℝ {0} |
| Contradomínio | [0, +∞[ ou ]-∞, 0] | ℝ {0} |
| Simetria | Par (eixo yy) | Ímpar (origem) |
| Variação | Cresce/decresce consoante a | Decresce/cresce consoante k |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Função quadrática: Dada a função f(x) = 2x², calcula f(2) e f(-3).
Resolução:
f(2) = 2 × (2)² = 2 × 4 = 8
f(-3) = 2 × (-3)² = 2 × 9 = 18
Exemplo 2 — Proporcionalidade inversa: Dada a função f(x) = 6/x, calcula f(2) e f(-3).
Resolução:
f(2) = 6/2 = 3
f(-3) = 6/(-3) = -2
O que inclui este PDF
- Tabela comparativa completa entre função quadrática e proporcionalidade inversa.
- Explicação detalhada de cada tipo de função com exemplos práticos.
- Exercícios resolvidos passo a passo.
- Exercícios propostos com soluções no final.
- Dicas e erros comuns a evitar.
Para mais recursos, vê também: fichas de exercícios de Matemática (9.º ano).
Porque isto importa
Este resumo sistematiza as funções quadrática e de proporcionalidade inversa estudadas no 9.º ano. Apresenta as propriedades da parábola segundo o sinal e o valor absoluto de a, o domínio e o contradomínio, a paridade e o eixo de simetria, e contrasta-as com as da hipérbole, cujo domínio exclui o zero e cujos ramos se situam em quadrantes definidos pelo sinal de k. A comparação entre as duas funções é particularmente útil na revisão, porque evidencia o que as distingue e evita confusões. O tema é avaliado na prova final do ciclo e fornece as bases para o estudo de funções no ensino secundário.
Erros comuns
- Confundir os domínios das duas funções, incluindo o zero na proporcionalidade inversa.
- Trocar o contradomínio da parábola segundo o sinal de a.
- Esquecer a paridade da função quadrática e o seu eixo de simetria.
- Associar os quadrantes da hipérbole ao sinal errado de k.
Como usar este resumo
Faz uma primeira leitura do resumo de início ao fim; numa segunda leitura, destaca as definições e as fórmulas essenciais. Usa-o como ponto de partida para revisão ativa: fecha o resumo e tenta explicar cada secção por palavras próprias. Volta a ele antes dos testes.