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Funções (Quadrática e Proporcionalidade Inversa) — Ficha

9.º Ano📄 FichaMatemática 2 páginas

Esta ficha de exercícios destina-se a alunos do 9.º ano que pretendem praticar e consolidar os conhecimentos sobre funções quadráticas e proporcionalidade inversa. Contém 10 páginas com exercícios de dificuldade progressiva, desde questões básicas até problemas de aplicação contextualizada.

1. Função quadrática (y = ax²)

A função quadrática f(x) = ax² (com a ≠ 0) é uma função cujo gráfico é uma parábola de vértice na origem. O sinal e a magnitude do coeficiente a determinam a concavidade e a abertura da parábola.

Fórmula: f(x) = ax²  |  Vértice: (0,0)  |  Eixo de simetria: x = 0

O que cada exercício cobre:

  • Exercícios 1–3: Cálculo de imagens — dada a função f(x) = ax², determina f(x) para valores concretos de x.
  • Exercícios 4–6: Construção de tabelas de valores e representação gráfica da parábola.
  • Exercícios 7–8: Determinação da expressão algébrica a partir do gráfico ou de pontos conhecidos.
  • Exercício 9: Problema de aplicação (trajetória parabólica).
💡 Dica: Na função quadrática y = ax², se conheceres um ponto (x, y) do gráfico (diferente da origem), podes determinar a resolvendo a equação a = y/x². Por exemplo, se (2, 8) pertence ao gráfico, então a = 8/4 = 2.

2. Proporcionalidade inversa (y = k/x)

A função de proporcionalidade inversa f(x) = k/x (com k ≠ 0 e x ≠ 0) é uma função cujo gráfico é uma hipérbole com dois ramos. O produto x × y é constante e igual a k.

Fórmula: f(x) = kx  |  Assíntotas: x = 0 e y = 0  |  x × y = k

O que cada exercício cobre:

  • Exercícios 10–12: Cálculo de imagens e determinação da constante k.
  • Exercícios 13–15: Construção de tabelas de valores e representação gráfica da hipérbole.
  • Exercícios 16–17: Identificação do quadrante dos ramos a partir do sinal de k.
  • Exercício 18: Problema de proporcionalidade inversa em contexto real (velocidade e tempo).
⚠️ Atenção: Ao construir a tabela de valores para y = k/x, escolhe valores de x equidistantes de zero, tanto positivos como negativos. A curva aproxima-se dos eixos sem os tocar — não deves unir os pontos dos dois ramos.

3. Exercícios mistos

Exercícios 19–20: Problemas que combinam os dois tipos de funções, exigindo que o aluno identifique qual o modelo mais adequado a cada situação.

Dicas para resolver a ficha

  • Usa papel milimétrico para as representações gráficas — a precisão é fundamental.
  • Na função quadrática, calcula sempre o valor no vértice (x = 0).
  • Na proporcionalidade inversa, lembra-te que x × y = k; se tiveres um par (x, y), encontras k imediatamente.
  • Verifica se a parábola abre para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0) antes de a desenhares.
  • Confirma que as soluções finais estão escritas com a unidade correta nos problemas de aplicação.
📘 Resumo rápido:
y = ax² — parábola, domínio ℝ, contradomínio ℝ⁺ (se a > 0) ou ℝ⁻ (se a < 0)
y = k/x — hipérbole, domínio ℝ\{0}, contradomínio ℝ\{0}, x × y = k

Para mais recursos, vê também: resumos de Matemática (9.º ano).

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