Ângulos na Circunferência — Ficha
O que é o ângulo ao centro e o ângulo inscrito?
Numa circunferência, distinguem-se dois tipos fundamentais de ângulos, consoante a posição do vértice:
- Ângulo ao centro — o vértice está no centro da circunferência e os lados são raios. A sua amplitude é igual à amplitude do arco que lhe corresponde.
- Ângulo inscrito — o vértice está sobre a circunferência e os lados são cordas (segmentos de reta que unem dois pontos da circunferência).
Exemplo: se o arco AB mede 70°, o ângulo ao centro AOB mede 70°.
Relação entre o ângulo inscrito e o ângulo ao centro
A propriedade mais importante deste capítulo: um ângulo inscrito mede metade do ângulo ao centro que tem o mesmo arco correspondente.
desde que os dois ângulos correspondam ao mesmo arco
Consequência útil: todos os ângulos inscritos no mesmo arco são iguais. Se o arco AB tem 80°, qualquer ângulo inscrito que «olhe» para esse arco mede 40°.
Ângulo inscrito em semicircunferência
Quando o arco correspondente é uma semicircunferência (180°), o ângulo ao centro correspondente mede 180° e, portanto, o ângulo inscrito mede 90°.
- Sempre que um ângulo tem o vértice sobre a circunferência e os lados passam pelas extremidades de um diâmetro, o ângulo é reto.
- Assim, qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo, com hipotenusa igual ao diâmetro — propriedade muito usada para justificar triângulos retângulos.
Tangente à circunferência
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que tem um único ponto comum com a circunferência — o ponto de tangência.
- A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência: raio ⊥ tangente.
- O ângulo entre a tangente e uma corda com extremidade no ponto de tangência (ângulo de segmento) é igual ao ângulo inscrito no arco compreendido entre os lados desse ângulo.
- Num ponto da circunferência passa uma e uma só reta tangente.
Quadriláteros inscritíveis
Um quadrilátero é inscritível (ou cíclico) quando existe uma circunferência que passa pelos quatro vértices.
- Num quadrilátero inscritível, os ângulos opostos são suplementares: a soma das suas amplitudes é 180°.
- Reciprocamente, se num quadrilátero os ângulos opostos somam 180°, então o quadrilátero é inscritível.
O que inclui esta ficha
- Exercício 1: Ângulo ao centro e ângulo inscrito
- Exercício 2: Ângulo inscrito em semicircunferência
- Exercício 3: Tangente e raio
- Exercício 4: Quadriláteros inscritíveis
- Exercício 5: Problemas mistos
- Soluções detalhadas nas páginas 5–7, com passo a passo
Porque isto importa
O estudo dos ângulos na circunferência pertence ao tema de Geometria do 9.º ano e estabelece relações entre ângulos, arcos, cordas e retas tangentes. Distinguir o ângulo ao centro do ângulo inscrito, aplicar a relação de metade e reconhecer que um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto permite resolver problemas de justificação geométrica, calcular amplitudes desconhecidas e demonstrar propriedades de quadriláteros inscritíveis. Estas relações são a base da trigonometria e da geometria analítica do ensino secundário e surgem com frequência em provas e exames. O rigor das justificações exigido nestes problemas treina o raciocínio dedutivo, competência valorizada ao longo do ensino secundário.
Erros comuns
- Trocar a relação entre ângulo ao centro e ângulo inscrito, atribuindo ao inscrito o dobro da amplitude.
- Esquecer que o ângulo inscrito numa semicircunferência é sempre reto, independentemente da posição do vértice.
- Usar a propriedade dos ângulos opostos suplementares em quadriláteros que não são inscritíveis.
- Traçar uma tangente sem garantir que é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Como usar esta ficha
Imprime a ficha e resolve os exercícios sem consultar as soluções. Só depois de terminar compara as respostas com as soluções incluídas no final do PDF — é nessa comparação que se identifica o que ainda precisa de revisão. Se um exercício ficar errado, vale a pena voltar à matéria correspondente antes de avançar.