Ângulos na Circunferência — Ficha

O que é o ângulo ao centro e o ângulo inscrito?

Numa circunferência, distinguem-se dois tipos fundamentais de ângulos, consoante a posição do vértice:

• Ângulo ao centro — o vértice está no centro da circunferência e os lados são raios. A sua amplitude é igual à amplitude do arco que lhe corresponde.
• Ângulo inscrito — o vértice está sobre a circunferência e os lados são cordas (segmentos de reta que unem dois pontos da circunferência).

Relação entre o ângulo inscrito e o ângulo ao centro

A propriedade mais importante deste capítulo: um ângulo inscrito mede metade do ângulo ao centro que tem o mesmo arco correspondente.

Consequência útil: todos os ângulos inscritos no mesmo arco são iguais. Se o arco AB tem 80°, qualquer ângulo inscrito que «olhe» para esse arco mede 40°.

Ângulo inscrito em semicircunferência

Quando o arco correspondente é uma semicircunferência (180°), o ângulo ao centro correspondente mede 180° e, portanto, o ângulo inscrito mede 90°.

• Sempre que um ângulo tem o vértice sobre a circunferência e os lados passam pelas extremidades de um diâmetro, o ângulo é reto.
• Assim, qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo, com hipotenusa igual ao diâmetro — propriedade muito usada para justificar triângulos retângulos.

Tangente à circunferência

Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que tem um único ponto comum com a circunferência — o ponto de tangência.

• A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência: raio ⊥ tangente.
• O ângulo entre a tangente e uma corda com extremidade no ponto de tangência (ângulo de segmento) é igual ao ângulo inscrito no arco compreendido entre os lados desse ângulo.
• Num ponto da circunferência passa uma e uma só reta tangente.

Quadriláteros inscritíveis

Um quadrilátero é inscritível (ou cíclico) quando existe uma circunferência que passa pelos quatro vértices.

• Num quadrilátero inscritível, os ângulos opostos são suplementares: a soma das suas amplitudes é 180°.
• Reciprocamente, se num quadrilátero os ângulos opostos somam 180°, então o quadrilátero é inscritível.

O que inclui esta ficha

• Exercício 1: Ângulo ao centro e ângulo inscrito
• Exercício 2: Ângulo inscrito em semicircunferência
• Exercício 3: Tangente e raio
• Exercício 4: Quadriláteros inscritíveis
• Exercício 5: Problemas mistos
• Soluções detalhadas nas páginas 5–7, com passo a passo

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