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Números Reais e Radicais — Ficha

9.º Ano📄 FichaMatemática 2 páginas

Esta ficha destina-se a alunos do 9.º ano que pretendem consolidar os conhecimentos sobre números reais e radicais. Ao longo de 10 páginas, vais rever a classificação dos números, a fração geratriz de dízimas, as operações com raízes quadradas, as potências de expoente inteiro e a notação científica — com exercícios de dificuldade progressiva e soluções passo a passo.

O que são números reais?

O conjunto dos números reais (ℝ) é a união de dois grandes conjuntos: os números racionais (ℚ) e os números irracionais (𝕀). Formalmente, escreve-se:

ℝ = ℚ ∪ 𝕀

Todo o número real é racional ou irracional — nunca ambos.

  • Números racionais (ℚ) — podem escrever-se na forma pq com p e q inteiros (q ≠ 0). Incluem os inteiros (ℤ), os naturais (ℕ), as frações e as dízimas finitas e dízimas infinitas periódicas.
  • Números irracionais (𝕀) — têm representação decimal infinita não periódica: as suas dízimas nunca terminam nem repetem um padrão. Exemplos: √2, √3, π.
💡 Dica: Para identificar se um número é irracional, repara na sua dízima. Se a dízima for finita ou se, a partir de certa altura, um grupo de algarismos se repetir indefinidamente (período), então o número é racional. Só as dízimas infinitas sem período são irracionais.

Racionais vs irracionais

A principal diferença entre racionais e irracionais está na forma decimal:

  • Dízima finita — termina ao fim de alguns algarismos. Exemplo: 0,75. Pode escrever-se como fração: 75100 = 34.
  • Dízima infinita periódica — um grupo de algarismos repete-se. Exemplo: 0,333… = 13.
  • Dízima infinita não periódica — nunca repete um padrão. Exemplo: √2 = 1,41421356…. Não pode ser escrita como fração — é irracional.

A fração geratriz é a fração que dá origem a uma determinada dízima. Para uma dízima finita, escreve-se a dízima sem vírgula sobre a potência de 10 correspondente e simplifica-se; para uma dízima infinita periódica, usa-se o método do período (subtraindo a parte não periódica).

⚠️ Atenção: A raiz quadrada de um número só é racional quando esse número é um quadrado perfeito. √4 = 2 (racional), mas √2, √3 e √5 são irracionais. Não confundas “dízima infinita” com “dízima infinita periódica” — só a segunda é racional.

Operações com radicais

Os radicais (raízes) seguem regras próprias que permitem simplificar expressões e efetuar operações. As principais propriedades são:

√a × √b = √(a × b)  |  √a ÷ √b = √(a ÷ b)  |  √(a²) = a (se a ≥ 0)

Válidas para a ≥ 0 e b > 0 (na divisão).

  • Multiplicação: √a × √b = √(a × b). Exemplo: √2 × √8 = √16 = 4.
  • Divisão: √a ÷ √b = √(a ÷ b). Exemplo: √18 ÷ √2 = √9 = 3.
  • Simplificação: extraem-se os fatores quadrados perfeitos. Exemplo: √50 = √(25 × 2) = 5√2.
  • Adição/subtração: só se podem somar ou subtrair radicais com o mesmo índice e radicando, somando os coeficientes. Exemplo: 3√2 + 5√2 = 8√2.
💡 Dica: Para simplificar um radical como √72, decompõe o radicando em fatores primos (72 = 2³ × 3²) e agrupa os pares: 72 = 2² × 2 × 3², logo √72 = 2 × 3 × √2 = 6√2.

Potências e notação científica

As potências de expoente inteiro generalizam as potências de expoente natural. As regras essenciais são:

a⁻ⁿ = 1aⁿ  |  a⁰ = 1  |  aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ  |  (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

Com a ≠ 0 e m, n inteiros.

  • Expoente negativo: a⁻ⁿ é o inverso de aⁿ. Exemplo: 2⁻³ = 12³ = 18.
  • Expoente zero: qualquer número (não nulo) elevado a zero é 1: 7⁰ = 1.
  • Multiplicação de potências com a mesma base: somam-se os expoentes: 3⁵ × 3⁻² = 3³.
  • Potência de potência: multiplicam-se os expoentes: (2³)⁻² = 2⁻⁶.

A notação científica serve para representar números muito grandes ou muito pequenos de forma compacta: escreve-se o número como a × 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10 e n inteiro.

  • Número grande: 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ (a vírgula anda 6 casas para a esquerda).
  • Número pequeno: 0,00032 = 3,2 × 10⁻⁴ (a vírgula anda 4 casas para a direita).
  • Para comparar números em notação científica, compara primeiro os expoentes n; se forem iguais, compara a.
📘 Resumo rápido:
ℝ = ℚ ∪ 𝕀 — dízimas finitas e periódicas são racionais; dízimas não periódicas são irracionais
√a × √b = √(ab) — e a⁻ⁿ = 1aⁿ
Notação científica: a × 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10

O que inclui a ficha

  • Exercícios 1–3: Classificação de números em racionais e irracionais e justificação com base na dízima.
  • Exercícios 4–6: Determinação da fração geratriz de dízimas finitas e infinitas periódicas.
  • Exercícios 7–9: Operações com radicais — multiplicação, divisão, simplificação e adição de radicais.
  • Exercícios 10–12: Potências de expoente inteiro, incluindo expoentes negativos e fraccionários.
  • Exercícios 13–15: Conversão de números para notação científica e vice-versa, com comparações e problemas de aplicação.
  • Soluções detalhadas nas últimas páginas, com o passo a passo de cada exercício.

Para mais recursos, vê também: resumos de Matemática (9.º ano).

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