Ficha de Matemática — Intervalo de confiança para a proporção (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre o intervalo de confiança para a proporção: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre o intervalo de confiança para uma proporção
• Construção de intervalos de confiança a 95% a partir de sondagens
• Cálculo e interpretação da margem de erro em pontos percentuais
• Verificação das condições de aplicação da aproximação normal (n p̂ ≥ 5 e n(1 − p̂) ≥ 5)
• Justificação e cálculo da margem de erro máxima de uma sondagem (pior caso p = 0,5)
• Dimensionamento da amostra para margens de erro de 5% e de 3%, com verificação do arredondamento por excesso
• Comparação de intervalos de confiança sobrepostos de dois candidatos numa sondagem eleitoral
• Leitura crítica de uma notícia que apresenta uma estimativa como se fosse o valor exato
• Demonstração de que duplicar a amostra não reduz a margem de erro para metade
• Aplicação ao cálculo do número de inquiridos necessário para uma margem de 2 pontos percentuais
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: construir intervalos de confiança para proporções, calcular a margem de erro de uma sondagem, verificar as condições de aplicação da aproximação normal, dimensionar amostras para uma precisão pretendida e interpretar criticamente resultados de sondagens divulgados na comunicação social.

Conteúdo programático: Introdução à inferência estatística (Matemática A, 12.º ano): intervalo de confiança para uma proporção; margem de erro; dimensionamento da amostra; leitura crítica de sondagens.

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Conteúdo completo

Ficha 4 — Intervalo de confiança para a proporção

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: construir intervalos de confiança para uma proporção p, calcular a margem de erro de uma sondagem, dimensionar a amostra para a precisão pretendida e ler criticamente sondagens divulgadas na comunicação social.

Revisão rápida — intervalo de confiança para p

• Quando o parâmetro de interesse é uma proporção p (fração da população com uma dada característica), a estimativa pontual é a proporção amostral p̂ = número de casos favoráveis / n.
• Intervalo de confiança a 100(1 − α)% para p: p̂ ± z_1−α/2 × √(p̂(1 − p̂)/n), com os mesmos quantis da normal padrão (1,645 para 90%, 1,96 para 95%, 2,576 para 99%).
• Condições de aplicação: a amostra tem de ser aleatória e suficientemente grande, verificando-se n p̂ ≥ 5 e n (1 − p̂) ≥ 5. Só nestas condições a distribuição de amostragem de p̂ é bem aproximada pela normal (Teorema Limite Central).
• Margem de erro máxima. Como p̂(1 − p̂) é tanto maior quanto mais próximo de 0,5 estiver p̂, o pior caso é p̂ = 0,5. Daí a fórmula usada nos estudos de opinião: MA máxima = 1,96 × √(0,25/n) — válida independentemente do resultado observado.
• Regra prática: como 1,96² ≈ 3,84, para uma margem máxima MA basta n ≥ 3,84 × 0,25 / MA², arredondando sempre por excesso.
• Leitura crítica: uma sondagem com n = 1000 tem margem até ±3,1 pontos percentuais. Duas percentagens cujos intervalos se sobrepõem não permitem concluir qual é a maior — a diferença observada pode ser apenas erro de amostragem.

Exercícios

1. Numa sondagem com 1000 inquiridos, 62% declararam apoiar uma medida. Constrói o intervalo de confiança a 95% para a proporção de apoiantes e indica a margem de erro (em pontos percentuais).

2. Numa amostra de 400 pessoas, 200 apresentam a característica em estudo. Constrói o intervalo de confiança a 95% para p.

3. Numa amostra de 1000 inquiridos, 48% afirmaram ter intenção de votar num certo candidato. Constrói o intervalo de confiança a 95% e explica o que se pode (e o que não se pode) concluir sobre uma eventual maioria.

4. Com a mesma proporção de 62% mas apenas 100 inquiridos, constrói o intervalo a 95% e compara a sua largura com a da questão 1, comentando a perda de precisão.

5. Justifica a fórmula da margem de erro máxima de uma sondagem, 1,96 × √(0,25/n), e calcula-a para n = 500, n = 1000 e n = 2000.

6. Uma empresa quer uma margem de erro máxima de 5 pontos percentuais, com 95% de confiança. Determina a dimensão mínima da amostra e verifica o resultado.

7. Repete a questão anterior para uma margem de erro máxima de 3 pontos percentuais e comenta quanto custa, em número de inquéritos, passar de 5% para 3%.

8. Verifica se a fórmula da proporção pode ser aplicada nos casos seguintes: (a) n = 1000 e p̂ = 0,62; (b) n = 40 e p̂ = 0,05; (c) n = 200 e p̂ = 0,97. Justifica em cada caso.

9. Um jornal anuncia: «A medida é apoiada por 62% dos portugueses, com uma margem de erro de 3%.» Explica por que razão a frase, tal como está escrita, é incorreta, e reescreve-a de forma correta.

10. Sondagem com dois candidatos: numa amostra de 1000 inquiridos, o candidato A obtém 43% e o candidato B 41%. Constrói os intervalos de confiança a 95% de ambos e conclui se é legítimo afirmar que A está à frente de B.

11. Justificação: explica por que razão a margem de erro de uma sondagem depende do resultado observado quando se usa √(p̂(1−p̂)/n), e não depende quando se usa a margem máxima √(0,25/n).

12. Aplicação: para uma margem de erro máxima de 2 pontos percentuais (95%), mostra que são necessários cerca de 2401 inquiridos e explica por que razão duplicar a amostra de 1000 para 2000 não reduz a margem para metade.

Soluções — Intervalo de confiança para a proporção

1. Tem-se p̂ = 0,62 e n = 1000. O erro padrão é √(0,62 × 0,38/1000) = √0,0002356 ≈ 0,015349. A margem de erro é 1,96 × 0,015349 ≈ 0,0301, ou seja cerca de 3,0 pontos percentuais. O intervalo é 0,62 ± 0,0301, isto é [0,5899; 0,6501] — aproximadamente de 59,0% a 65,0%.

2. p̂ = 200/400 = 0,5. O erro padrão é √(0,5 × 0,5/400) = √0,000625 = 0,025 e a margem é 1,96 × 0,025 = 0,049. O intervalo a 95% é [0,451; 0,549], ou seja de 45,1% a 54,9%.

3. p̂ = 0,48, n = 1000: erro padrão √(0,48 × 0,52/1000) ≈ 0,015799 e margem 1,96 × 0,015799 ≈ 0,031. O intervalo é [0,449; 0,511] — de 44,9% a 51,1%. Conclui-se que 50% está dentro do intervalo: os dados são compatíveis tanto com uma minoria como com uma maioria (mesmo uma maioria muito ligeira). Não se pode afirmar que o candidato tem maioria nem que não tem — a sondagem não permite decidir.

4. Com p̂ = 0,62 e n = 100: erro padrão √(0,62 × 0,38/100) ≈ 0,048539 e margem 1,96 × 0,048539 ≈ 0,0951. O intervalo é [0,5249; 0,7151] — de 52,5% a 71,5%. A largura passou de cerca de 6,0 pontos percentuais (questão 1) para 19,0 pontos percentuais: dez vezes menos inquéritos deram um intervalo mais de três vezes mais largo. É a raiz quadrada no erro padrão a explicar este comportamento.

5. Na expressão √(p̂(1 − p̂)/n), o produto p̂(1 − p̂) é máximo quando p̂ = 0,5, valendo 0,25; para qualquer outro valor é menor. Tomando o pior caso, a margem nunca excede 1,96 × √(0,25/n), pelo que esta fórmula dá um limite superior válido sem conhecer o resultado da sondagem. Valores: n = 500 → 1,96 × 0,022361 ≈ 0,0438 (4,4%); n = 1000 → 0,0310 (3,1%); n = 2000 → 0,0219 (2,2%).

6. Exige-se 1,96 × √(0,25/n) ≤ 0,05, isto é √(0,25/n) ≤ 0,025510, donde 0,25/n ≤ 0,00065077 e n ≥ 384,16. Arredondando por excesso, n = 385. Verificação: com n = 385 a margem máxima é 1,96 × √(0,25/385) ≈ 4,995% ✓ ; com n = 384 seria 5,001% ✗ — confirma que não se pode arredondar por defeito.

7. Para 3%: n ≥ 3,8416 × 0,25/0,0009 ≈ 1067,11, logo n = 1068. Verificação: n = 1068 → ≈ 2,999% ✓ ; n = 1067 → ≈ 3,000% ✗ (fica acima do limite). Passar da margem de 5% para 3% exige subir de 385 para 1068 inquiridos — quase o triplo da amostra para ganhar dois pontos percentuais de precisão. É a demonstração prática de que a precisão estatística se paga caro.

8. A condição é n p̂ ≥ 5 e n(1 − p̂) ≥ 5. (a) n p̂ = 620 e n(1 − p̂) = 380, ambos ≥ 5: pode aplicar-se. (b) n p̂ = 40 × 0,05 = 2 < 5: não pode aplicar-se (a aproximação normal não é adequada para acontecimentos raros com amostras pequenas). (c) n(1 − p̂) = 200 × 0,03 = 6 ≥ 5 e n p̂ = 194 ≥ 5: pode aplicar-se, embora com cautela por o valor estar muito próximo do limite.

9. A frase é incorreta porque apresenta os 62% como se fossem o valor exato da proporção populacional, quando são apenas a estimativa obtida numa amostra; além disso, «margem de erro de 3%» sem indicação do nível de confiança é ambíguo. Formulação correta: «Com base numa amostra aleatória de 1000 inquiridos, a proporção de apoiantes foi estimada em 62%. O intervalo de confiança a 95% para essa proporção vai de cerca de 59% a 65% (±3 pontos percentuais).» Assim fica claro que 62% é uma estimativa e que existe um intervalo de valores plausíveis.

10. Para A: erro padrão √(0,43 × 0,57/1000) ≈ 0,015656 e margem ≈ 0,0307, logo [0,3993; 0,4607] (de 39,9% a 46,1%). Para B: erro padrão √(0,41 × 0,59/1000) ≈ 0,015553 e margem ≈ 0,0305, logo [0,3795; 0,4405] (de 38,0% a 44,0%). Os intervalos sobrepõem-se largamente (a zona comum vai de 39,9% a 44,0%), portanto não é legítimo afirmar que A está à frente de B: uma vantagem de apenas 2 pontos percentuais está dentro da margem de erro da sondagem.

11. Quando se usa √(p̂(1 − p̂)/n), a quantidade p̂(1 − p̂) depende do valor observado: se a característica for rara (p̂ próximo de 0 ou de 1), esse produto é pequeno e o intervalo é mais estreito. Já a margem máxima √(0,25/n) toma o valor mais desfavorável possível (p̂ = 0,5, onde p̂(1 − p̂) = 0,25), pelo que representa um limite superior que se pode anunciar antes de conhecer os resultados — que é precisamente o que os estudos de opinião fazem, ao publicar a margem de erro máxima prevista no plano amostral.

12. Para uma margem máxima de 2%: n ≥ 3,8416 × 0,25/0,0004 = 2401 (valor exato: com n = 2401 tem-se 1,96 × 0,5/49 = 0,02, exatamente no limite). Duplicar a amostra de 1000 para 2000 não divide a margem por 2 porque a margem é proporcional a 1/√n, não a 1/n: com n = 1000 a margem máxima é 3,10% e com n = 2000 é 2,19% (e não 1,55%). Para reduzir a margem a metade seria necessário multiplicar n por 4 (de 1000 para 4000), obtendo-se aí cerca de 1,55%. É a mesma «lei da raiz quadrada» que governa o erro padrão da média.

Nota: a mensagem central desta ficha está na questão 10 — comparar sondagens sem olhar para as margens de erro é o erro mais frequente na comunicação social. Uma diferença menor do que a margem de erro não é uma diferença, estatisticamente falando.