Ficha de Matemática — Distribuição de amostragem e Teorema Limite Central (12.º Ano)

Ficha de exercícios de Matemática A (12.º ano) sobre a distribuição de amostragem e o Teorema Limite Central: 12 exercícios e soluções.

O que inclui esta ficha

• 12 exercícios sobre distribuição de amostragem e Teorema Limite Central
• Cálculo da média e do desvio padrão de uma população discreta
• Cálculo do erro padrão da média amostral pela fórmula σ/√n
• Comparação do erro padrão para amostras de 4, 16, 25 e 64 elementos
• Demonstração de que quadruplicar o tamanho da amostra divide o erro padrão por dois
• Enunciado do Teorema Limite Central e as situações em que é necessário
• Distribuição de amostragem exata quando a população já é normal
• Interpretação do centro e da dispersão de resultados de simulação
• Cálculo de probabilidades com a média amostral pela aproximação normal
• Explicação de por que razão amostras maiores dão médias mais estáveis
• Distinção entre reduzir o erro padrão e corrigir o enviesamento
• Aplicação a um estudo sobre o gasto médio mensal de clientes
• Soluções completas para os 12 exercícios

Competências que desenvolve: caracterizar a distribuição de amostragem de uma estatística, calcular e interpretar o erro padrão, aplicar o Teorema Limite Central para aproximar a distribuição da média amostral, calcular probabilidades com essa distribuição e distinguir variabilidade amostral de enviesamento.

Conteúdo programático: Introdução à inferência estatística (Matemática A, 12.º ano): distribuição de amostragem de uma estatística; distribuição de amostragem da média; erro padrão; Teorema Limite Central.

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Conteúdo completo

Ficha 2 — Distribuição de amostragem e Teorema Limite Central

12.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: compreender a distribuição de amostragem de uma estatística, calcular o erro padrão da média, aplicar o Teorema Limite Central e interpretar a variabilidade das estimativas em função do tamanho da amostra.

Revisão rápida — como se comporta a média amostral

• Distribuição de amostragem de uma estatística é a distribuição (teórica) de todos os valores que essa estatística toma em todas as amostras possíveis do mesmo tamanho retiradas da população. Não se confunde com a distribuição da população.
• A média da distribuição de amostragem de x̄ é igual à média populacional: μ_x̄ = μ.
• O desvio padrão da distribuição de amostragem de x̄ chama-se erro padrão e vale σ_x̄ = σ/√n, onde σ é o desvio padrão da população e n o tamanho da amostra.
• Consequência prática: para quadruplicar a precisão (reduzir o erro padrão a metade) é preciso multiplicar o tamanho da amostra por 4 — o erro padrão decresce com a raiz de n, não com n.
• Teorema Limite Central (TLC): para amostras de tamanho n suficientemente grande, a distribuição de amostragem de x̄ é aproximadamente normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população. Escreve-se x̄ ≈ N(μ, σ/√n). Na prática usa-se n ≥ 30.
• Se a população já for normal, então a distribuição de x̄ é exatamente normal para qualquer n (não sendo preciso invocar o TLC).

Exercícios

1. Parâmetros da população: considere o lançamento de um dado equilibrado (valores 1 a 6). Determina a média μ e o desvio padrão σ da população, indicando o valor exato e arredondado a três casas decimais.

2. Erro padrão: para amostras de 4 lançamentos, calcula o erro padrão σ/√n da média amostral (três casas decimais).

3. Mais observações: calcula o erro padrão para amostras de 25 lançamentos e compara-o com o obtido na questão 2, comentando a melhoria de precisão.

4. Quadruplicar a amostra: calcula o erro padrão para n = 16 e para n = 64 e mostra que quadruplicar o tamanho da amostra divide o erro padrão por 2.

5. Enunciar o TLC: enuncia o Teorema Limite Central e explica em que situação é necessário recorrer-lhe (e em que situação é dispensável).

6. População normal: se a população for normal com μ = 50 e σ = 8, qual é a distribuição de amostragem de x̄ para amostras de 10 elementos? Indica os parâmetros dessa distribuição.

7. Simulação — centro: numa simulação retiraram-se 20 000 amostras de 4 lançamentos e obteve-se uma média das médias de 3,4993. Que valor teórico se esperava e por que razão o valor simulado não coincide exatamente?

8. Simulação — dispersão: na mesma simulação (n = 4), o desvio padrão das 20 000 médias foi 0,8537. Compara este valor com o erro padrão calculado na questão 2 e explica o que a concordância confirma.

9. Probabilidade com o TLC: usando a distribuição de amostragem de x̄ para n = 25 e a aproximação normal, calcula a probabilidade de a média de 25 lançamentos ser superior a 4. (Indica o valor de z e o resultado a quatro casas decimais.)

10. Porquê menos dispersão? Explica, com as tuas palavras, por que razão a média de 25 lançamentos é mais estável (varia menos) do que a média de 4 lançamentos.

11. Dispersão e enviesamento: explica a diferença entre reduzir o erro padrão e corrigir o enviesamento de uma amostra. Aumentar o tamanho da amostra resolve os dois problemas?

12. Aplicação: para estimar o gasto médio mensal dos clientes de uma loja, recolheu-se uma amostra de 100 clientes, obtendo-se x̄ = 84 €. Sabendo que σ = 20 €, descreve a distribuição de amostragem de x̄ e calcula o erro padrão, indicando o que ele mede.

Soluções — Distribuição de amostragem e TLC

1. A média é μ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3,5. Quanto à variância, E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6, logo σ² = 91/6 − 3,5² = 15,1667 − 12,25 = 35/12 ≈ 2,9167. Assim σ = √(35/12) ≈ 1,708.

2. σ_x̄ = σ/√n = 1,707825/√4 = 1,707825/2 ≈ 0,854.

3. Para n = 25: σ_x̄ = 1,707825/5 ≈ 0,342. O erro padrão passou de 0,854 para 0,342, ou seja ficou cerca de 2,5 vezes menor — com cinco vezes mais lançamentos, a média amostral torna-se bastante mais precisa.

4. Para n = 16: 1,707825/4 ≈ 0,427. Para n = 64: 1,707825/8 ≈ 0,213. Ora 0,427/0,213 ≈ 2, exatamente: como o erro padrão vale σ/√n e √64 = 2√16, quadruplicar n divide a raiz por 2 e portanto divide o erro padrão por 2. É a razão pela qual ganhar precisão em estatística é «caro»: cada duplicação de precisão exige quadruplicar a amostra.

5. TLC: para amostras de tamanho n suficientemente grande, a distribuição de amostragem da média x̄ é aproximadamente normal, com média μ e desvio padrão σ/√n — independentemente da forma da distribuição da população. É necessário recorrer-lhe quando a população não é normal (por exemplo, uma população claramente assimétrica) e se pretende usar a normalidade de x̄; é dispensável quando a população já é normal, pois nesse caso x̄ é exatamente normal para qualquer n.

6. Sendo a população normal, x̄ tem distribuição exatamente normal para qualquer n (não é preciso invocar o TLC). Os parâmetros são μ_x̄ = μ = 50 e σ_x̄ = 8/√10 ≈ 2,530. Escreve-se x̄ ~ N(50; 2,530).

7. O valor teórico esperado é μ = 3,5, pois a média da distribuição de amostragem é igual à média da população (o estimador é centrado). O valor simulado (3,4993) não coincide exatamente porque uma simulação é uma aproximação finita: trabalha-se com 20 000 amostras, não com «todas» as amostras possíveis, e existe ainda o efeito do gerador de números pseudoaleatórios. A diferença (0,0007) é, no entanto, muito pequena — o que confirma o resultado teórico.

8. O valor simulado (0,8537) é praticamente igual ao erro padrão teórico calculado na questão 2 (0,854). Esta concordância confirma experimentalmente a fórmula σ_x̄ = σ/√n: a dispersão das médias amostrais obtida por simulação reproduz a que a teoria prevê. É uma verificação independente do resultado — a teoria e a experiência dão o mesmo número.

9. Com n = 25, a distribuição de x̄ tem média 3,5 e desvio padrão 0,341565 (questão 3). Padronizando: z = (4 − 3,5)/0,341565 ≈ 1,4639. Então P(x̄ > 4) = 1 − Φ(1,4639) ≈ 0,0716. Ou seja, em cerca de 7% das amostras de 25 lançamentos a média excederia 4 — um acontecimento pouco frequente, mas possível.

10. A média de 25 lançamentos é mais estável porque, ao somar mais valores, as flutuações individuais compensam-se: um lançamento alto tende a ser equilibrado por outro baixo. Quanto maior o número de observações somadas, menor o efeito relativo de cada valor extremo, e por isso a média resultante varia menos de amostra para amostra. É exatamente isso que a fórmula σ/√n traduz: o erro padrão diminui quando n aumenta.

11. O erro padrão mede a dispersão das estimativas em torno do valor médio das estimativas — é a variabilidade devida ao acaso da amostragem, e diminui quando n aumenta. O enviesamento é um desvio sistemático: a estimativa erra sempre no mesmo sentido porque o processo de amostragem está mal concebido (por exemplo, uma amostra de conveniência). Aumentar n reduz o erro padrão, mas não corrige o enviesamento: uma amostra grande mas enviesada continua a dar resultados errados, apenas com aparência de maior precisão. Primeiro garante-se a representatividade; só depois se ganha precisão aumentando a amostra.

12. A distribuição de amostragem de x̄ tem média μ_x̄ = μ (o gasto médio de todos os clientes) e desvio padrão σ_x̄ = 20/√100 = 2 €. Pelo TLC, como n = 100 ≥ 30, essa distribuição é aproximadamente normal: x̄ ≈ N(μ, 2). O erro padrão de 2 € mede a dispersão esperada das médias amostrais: se se recolhessem muitas amostras de 100 clientes, as respetivas médias afastar-se-iam de μ, em média, cerca de 2 € — é a precisão típica da estimativa.

Nota: o resultado mais importante desta ficha é a forma do erro padrão — σ/√n. A raiz quadrada explica por que razão aumentar a amostra melhora a precisão cada vez mais devagar, e é por isso que nenhuma sondagem atinge precisão perfeita apenas por crescer.