Dados univariados: representação e leitura — Ficha (10.º Ano)

Ficha de Matemática A (10.º ano) sobre representação e leitura de dados univariados (Estatística).

O que inclui esta ficha

• Revisão rápida: frequências absolutas, relativas e acumuladas; barras vs. histograma; caule-e-folhas; extremos-e-quartis (5 números-resumo); tabela-modelo de horas de estudo
• 12 exercícios: acumuladas, boxplot e AIQ, classes e largura de classe, frequência por unidade de amplitude, gráficos enganosos (eixo truncado) + algoritmo Python de contagem por classes
• Soluções completas incluídas

Competências que desenvolve: Construir e ler representações de dados; interpretar medidas de posição e comparar distribuições; criticar gráficos potencialmente enganosos (Competência em Matemática — Estatística).

Conteúdo programático: Tema 2 — Estatística: dados univariados e as suas representações.

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Conteúdo completo

Ficha 7 — Dados univariados: representação e leitura

10.º Ano · Matemática A · 4 páginas · 12 exercícios

Objetivo: Construir e ler tabelas de frequências (absolutas, relativas e acumuladas), diagramas de barras, caule-e-folhas, diagramas de extremos-e-quartis e histogramas (com classes).

Revisão rápida — da amostra ao gráfico

• Frequência absoluta fi = nº de observações na classe · relativa fi/N (fração ou %) · acumulada = soma progressiva (só chega a 100% / N no fim).
• Barras: altura = frequência (→ relativa compara «regularidade» entre amostras diferentes). Histograma: as classes estão ordenadas e contíguas → barras coladas, área proporcional (frequência = altura × largura quando a frequência é por unidade de amplitude).
• Caule-e-folhas: cada valor em folha, linhas = caule (ordem de grandeza). Extremos-e-quartis (boxplot): min–Q1–Q2(mediana)–Q3–max; Q2 divide em metades; Q1/Q3 dividem cada metade em dois quartis.
• Amplitude total (AT) = max − min · AIQ = Q3 − Q1 — a «caixa» do boxplot.

Exercícios

1. Verifica a tabela: N = 40 e relativas = 100% (foi preenchida). Depois classifica o gráfico ideal: a) notas de 50 valores → melhor: __ b) horas de estudo (5 classes) → __ c) 40 pesos ordenados → __ d) comparar % de aprovados em 3 escolas → __

2. Frequências acumuladas: com a tabela: a) alunos com < 6 h (acumulada até [4–6[): __ b) com ≥ 6 h: __ c) explica porque a acumulada é sempre crescente e só chega ao total na última classe.

3. Caule-e-folhas: caule 4 | 0 5, caule 5 | 0 0 2 5, caule 6 | 0 5 — a) lê 3 valores: __ b) nº de observações: __ c) reconstitui os 7 valores por ordem e calcula a amplitude total: __

4. Extremos-e-quartis (figura): O diagrama abaixo tem extremos em 6 e 34, caixa de 12 a 28 e mediana a 20:

6 ├──────[12│ 20│28]──────┤ 34 (0 à esquerda, 40 à direita)

Coloca os 5 números-resumo: min __ Q1 __ Q2 __ Q3 __ max __ → AT __ AIQ __. Se 75% dos dados são ≤ 28, o que se pode dizer dos 25% restantes? __

5. Classes e histograma: dados 7, 14, 18, 5, 12, 9, 20, 11, 16, 6 — amplitude total __ com 4 classes → largura de classe __ → completa: [4–8[ fi= __ · [8–12[ __ · [12–16[ __ · [16–20] __ · soma __.

6. Barras vs. relativas: escola A: 120/400 aprovados; escola B: 30/80. a) % de cada __ b) qual «melhor» em %? c) em que situação uma só interessa mesmo a absoluta?

7. Histograma leitura: da tabela da Revisão: a) classe modal __ b) onde cai a mediana (N=40 → posição 20,5) __ c) a distribuição tem assimetria? — qual? __

8. Frequência por unidade de amplitude: classe [4–6[ com fi = 14 → densidade = 14/2 = __ · classe [0–2[ fi = 4 → __ · a barra da [4–6[ é __× mais alta — explica porque é que usa-se isto (classes de larguras diferentes, 1 frase).

9. Algoritmo (Python):

dados=[7,14,18,5,12,9,20,11,16,6] classe=lambda x: min(int(x//4),3) f=[0,0,0,0] for x in dados: f[classe(x)]+=1 print(f)

a) lista impressa __ b) que intervalos? __ c) substitui lambda por passo a passo (o que faz int(x//4)?)

10. Boxplot comparativo: caixa 12–28 (mediana 20) vs. caixa 14–26 (mediana 19): a) qual tem maior AIQ? __ b) qual é mais «homogéneo»? — argumenta com AIQ c) ambos têm mesma mediana? __

11. Um gráfico enganoso: desenho (ou descreve) um eixo das ordenadas a começar em 35 que faz parecer dobrar os valores de 40 para 80. a) porque é que «80 parece 4× 40»? b) 2 regras de honestidade do eixo zero.

12. Produção: 20 pesos de uma turma (a fornecer pelo professor em folha de cálculo) → constrói tabela com 4 classes, histograma e extremos-e-quartis; comenta: classe modal, mediana vs. média, outliers (se 90 kg surgir, porque é outlier?).

Soluções — Ficha 7: Dados univariados

1. N = 40 ✓ · relativas = 10+15+35+25+15 = 100% ✓ · a) caule-e-folhas (muitos valores, ver precisão) b) histograma (classes contíguas) c) extremos-e-quartis (resumo 5 números) d) barras relativas (tamanhos de turma diferentes).

2. a) acumulada de [4–6[ = 24 alunos b) ≥ 6 h: 40 − 24 = 16 c) a acumulada soma progressivamente as frequências — nunca pode diminuir (não se «descontam» observações) e na última classe contém todos os N dados.

3. a) ex.: 45, 52, 55 b) 7 c) 40, 45, 50, 52, 55, 60, 65 → AT = 65 − 40 = 25.

4. min = 6 · Q1 = 12 · Q2 = 20 · Q3 = 28 · max = 34 → AT = 34 − 6 = 28 · AIQ = 28 − 12 = 16. Se 75% ≤ 28 (é Q3): os 25% restantes ficam espraiados entre 28 e 34 — apenas um quarto ocupa a faixa superior, enquanto metade (entre Q1 e Q3) vive dentro da caixa de largura 16.

5. AT = 20 − 5 = 15 → com 4 classes: largura = 15/4 = 3,75 → arredonda-se a 4 (classes [4–8[, [8–12[, [12–16[, [16–20]): fi: [4–8[ = {7,5,6} = 3 · [8–12[ = {11,9} = 2 · [12–16[ = {14,12,16} = 3 · [16–20] = {18,20} = 2 · soma = 10 ✓.

6. a) A: 120/400 = 30% · B: 30/80 = 37,5% b) B em % (37,5% > 30%) c) a absoluta interessa quando importa a escala/impacto (ex.: nº de vagas, alunos afetados) — 30% de 400 = 120 alunos é mais gente que 37,5% de 80.

7. a) classe modal: [4–6[ (14) b) posição 20,5 → acumulada 24 na [4–6[, 10 na anterior → dentro de [4–6[ c) as frequências sobem depressa até ao pico (4, 6, 14) e descem mais devagar à direita (10, 6 — 16 observações à direita do pico contra 10 à esquerda) → assimetria à direita (positiva): a cauda estica-se em direção aos valores altos.

8. 14/2 = 7 · 4/2 = 2 · 3,5× mais alta — com classes de larguras diferentes, a área (não só a altura) deve ser proporcional à frequência, senão o gráfico mente.

9. a) [0, 3, 2, 5] b) as 4 classes de largura 4 seriam [0–4[, [4–8[, [8–12[, [12–16[ — mas, por causa do min(...,3), a última posição junta tudo o que é ≥ 12 c) int(x//4) = parte inteira de x/4 → o índice da classe de largura 4 (0,1,2,3,…) e o min(…,3) prende tudo o que é ≥ 12 na 4.ª posição (12, 14, 16, 18, 20 → 5) para não estourar o índice da lista — é uma simplificação: os dados 16–20 ficariam numa classe errada se fosse histograma a sério.

10. a) AIQ caixa 1: 28 − 12 = 16 · caixa 2: 26 − 14 = 12 → caixa 1 tem AIQ maior b) o 2.º é mais homogéneo (menor AIQ = metade central mais concentrada) c) 20 vs 19 — não: quase iguais, mas 20 > 19 — mediana parecida não significa distribuições parecidas (dispersões diferentes).

11. a) se o eixo começa em 35, a barra de 40 mede 5 unidades e a de 80 mede 45 → parece 9× maior embora o valor seja só 2× — a área/altura mensura distância ao zero artificial, não o valor b) (1) eixo das ordenadas com zero (ou origem explicitamente marcada como truncada) (2) mescas nunca lado a lado com escalas diferentes — se truncar, assinalar.

12. (orientação) com dados fornecidos: tabela 4 classes (largura = AT/4 arredondada), fi + relativas, histograma com barras coladas, 5 números (Q2 = médias dos valores centrais quando par), classe modal; comenta: se 90 kg num conjunto 55–75 é outlier > Q3 + 1,5·AIQ — registar como anomalia/erro ou dado real a negociar com a amostra.