A probabilidade é um número que mede a possibilidade de um acontecimento ocorrer. O seu valor está sempre entre 0 (acontecimento impossível) e 1 (acontecimento certo).

Quanto maior for a probabilidade, maior a chance de o acontecimento se verificar.

Nota: A probabilidade pode ser expressa em fração, em decimal ou em percentagem. Por exemplo: 1/4 = 0,25 = 25%.

Regra de Laplace

Num espaço amostral com acontecimentos equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento A é dada por:

Exemplo: Ao lançar um dado equilibrado de 6 faces, a probabilidade de sair um número par é:

P(par) = 3 / 6 = 1 / 2 = 0,5

Dica: A regra de Laplace só se aplica quando todos os resultados do espaço amostral são igualmente prováveis (dados equilibrados, moedas não viciadas, etc.).

Operações com acontecimentos

Compreender as operações entre acontecimentos é fundamental para resolver problemas de probabilidades mais complexos.

• União (A ∪ B): Acontecimento que ocorre se pelo menos um dos acontecimentos A ou B se verificar. Na fórmula geral: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Interseção (A ∩ B): Acontecimento que ocorre se ambos os acontecimentos A e B se verificarem em simultâneo.
• Complementar (Ā): Acontecimento que ocorre se A não ocorrer. Tem-se sempre P(Ā) = 1 − P(A).

Atenção: Acontecimentos disjuntos (ou mutuamente exclusivos) são aqueles que não podem ocorrer ao mesmo tempo. Nesse caso, A ∩ B = ∅ e portanto P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Diagramas de Venn

Os diagramas de Venn são representações gráficas que ajudam a visualizar as relações entre acontecimentos. São especialmente úteis para:

• Identificar a união e a interseção de acontecimentos
• Calcular probabilidades de acontecimentos compostos
• Visualizar acontecimentos complementares
• Resolver problemas com probabilidades condicionadas

Dica: Nos diagramas de Venn, desenha primeiro o retângulo que representa o espaço amostral (Ω) e depois os círculos sobrepostos para cada acontecimento. Preenche as regiões com as probabilidades conhecidas e resolve por diferença.

Diagramas em árvore

Os diagramas em árvore são outra ferramenta visual para representar experiências com várias etapas. Em cada ramo, escreve-se a probabilidade associada. A probabilidade de um percurso completo obtém-se multiplicando as probabilidades ao longo dos ramos.

Exemplo: Lançar uma moeda duas vezes. A probabilidade de obter duas caras é:

P(cara, cara) = 1 / 2 × 1 / 2 = 1 / 4 = 0,25

Dica: Num diagrama em árvore, a soma das probabilidades de todos os ramos que partem do mesmo ponto é sempre 1. Verifica sempre este princípio para garantir que não falhaste nenhum caso.

O que cada exercício cobre

A ficha está organizada em 8 páginas com os seguintes tipos de exercícios:

• Exercícios 1–2: Aplicação direta da regra de Laplace em contextos simples (dados, moedas, baralhos de cartas).
• Exercícios 3–4: Cálculo de probabilidades de acontecimentos compostos, usando união e interseção.
• Exercícios 5–6: Problemas com diagramas de Venn — interpretação e cálculo de probabilidades a partir de diagramas.
• Exercícios 7–8: Problemas com diagramas em árvore — experiências com duas ou mais etapas.
• Exercícios 9–10: Problemas de contexto real que combinam vários conceitos (sorteios, jogos, inquéritos).

Nota final: Lembra-te: disjuntos = mutuamente exclusivos. Quando dois acontecimentos são disjuntos, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) porque não têm elementos em comum. Esta é uma das relações mais úteis e mais testadas nos exames nacionais.

Para mais recursos, vê também: outras fichas de Matemática.

SOH CAH TOA — A regra mnemónica

A forma mais simples de recordar as razões trigonométricas é através da mnemónica SOH CAH TOA:

Quando usar cada razão

• Seno (sin θ) — Usa-se quando conheces (ou precisas de) o ângulo, o cateto oposto e a hipotenusa.
• Cosseno (cos θ) — Usa-se quando conheces (ou precisas de) o ângulo, o cateto adjacente e a hipotenusa.
• Tangente (tan θ) — Usa-se quando conheces (ou precisas de) o ângulo e os dois catetos (oposto e adjacente).

Dica prática: Num problema, identifica primeiro o ângulo de referência. Depois, identifica os lados conhecidos e o lado que precisas de encontrar. Escolhe a razão trigonométrica que relaciona esses três elementos.

Valores notáveis (30°, 45°, 60°)

A tabela seguinte apresenta os valores exatos das razões trigonométricas para os ângulos mais utilizados:

Truque de memorização: Para seno, os valores seguem a sequência √1/2, √2/2, √3/2 (para 30°, 45°, 60°). Para cosseno, é o inverso: √3/2, √2/2, √1/2. A tangente obtém-se dividindo seno por cosseno (tan θ = sen θ / cos θ).

Propriedades importantes

• Relação fundamental: sen² θ + cos² θ = 1
• Tangente: tan θ = sen θ / cos θ
• Num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do seu complementar: sen θ = cos (90° − θ).
• Para qualquer ângulo agudo, 0 < sen θ < 1 e 0 < cos θ < 1. A tangente pode ser maior que 1.

Como usar os flashcards

• Imprime as 4 páginas e recorta cada flashcard individualmente.
• Dobra ao meio (frente com a pergunta, verso com a resposta).
• Estuda em sessões curtas de 10–15 minutos, repetindo os flashcards que errares.
• Pedir a um colega que te faça as perguntas aleatoriamente também ajuda.

Para mais recursos, vê também: resumos de Matemática (9.º ano).

1. Função quadrática (y = ax²)

A função quadrática f(x) = ax² (com a ≠ 0) é uma função cujo gráfico é uma parábola de vértice na origem. O sinal e a magnitude do coeficiente a determinam a concavidade e a abertura da parábola.

O que cada exercício cobre:

• Exercícios 1–3: Cálculo de imagens — dada a função f(x) = ax², determina f(x) para valores concretos de x.
• Exercícios 4–6: Construção de tabelas de valores e representação gráfica da parábola.
• Exercícios 7–8: Determinação da expressão algébrica a partir do gráfico ou de pontos conhecidos.
• Exercício 9: Problema de aplicação (trajetória parabólica).

Dica: Na função quadrática y = ax², se conheceres um ponto (x, y) do gráfico (diferente da origem), podes determinar a resolvendo a equação a = y/x². Por exemplo, se (2, 8) pertence ao gráfico, então a = 8/4 = 2.

2. Proporcionalidade inversa (y = k/x)

A função de proporcionalidade inversa f(x) = k/x (com k ≠ 0 e x ≠ 0) é uma função cujo gráfico é uma hipérbole com dois ramos. O produto x × y é constante e igual a k.

O que cada exercício cobre:

• Exercícios 10–12: Cálculo de imagens e determinação da constante k.
• Exercícios 13–15: Construção de tabelas de valores e representação gráfica da hipérbole.
• Exercícios 16–17: Identificação do quadrante dos ramos a partir do sinal de k.
• Exercício 18: Problema de proporcionalidade inversa em contexto real (velocidade e tempo).

Atenção: Ao construir a tabela de valores para y = k/x, escolhe valores de x equidistantes de zero, tanto positivos como negativos. A curva aproxima-se dos eixos sem os tocar — não deves unir os pontos dos dois ramos.

3. Exercícios mistos

Exercícios 19–20: Problemas que combinam os dois tipos de funções, exigindo que o aluno identifique qual o modelo mais adequado a cada situação.

Dicas para resolver a ficha

• Usa papel milimétrico para as representações gráficas — a precisão é fundamental.
• Na função quadrática, calcula sempre o valor no vértice (x = 0).
• Na proporcionalidade inversa, lembra-te que x × y = k; se tiveres um par (x, y), encontras k imediatamente.
• Verifica se a parábola abre para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0) antes de a desenhares.
• Confirma que as soluções finais estão escritas com a unidade correta nos problemas de aplicação.

Resumo rápido:
y = ax² — parábola, domínio ℝ, contradomínio ℝ⁺ (se a > 0) ou ℝ⁻ (se a < 0)
y = k/x — hipérbole, domínio ℝ\{0}, contradomínio ℝ\{0}, x × y = k

Para mais recursos, vê também: resumos de Matemática (9.º ano).

Função quadrática (y = ax²)

A função quadrática do tipo f(x) = ax², com a ≠ 0, é uma função polinomial de grau 2 cujo gráfico é uma parábola de vértice na origem (0,0).

• Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima (mínimo).
• Se a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo (máximo).
• Quanto maior o valor de |a|, mais “fechada” é a parábola.
• O domínio é ℝ e o contradomínio é [0, +∞[ (se a > 0) ou ]-∞, 0] (se a < 0).
• A função é par: f(x) = f(-x). O eixo dos yy é o eixo de simetria.

Dica importante: Para representar graficamente y = ax², começa por construir uma tabela de valores com x = -2, -1, 0, 1, 2. Os valores simétricos de x produzem o mesmo y, facilitando o traçado da parábola.

Proporcionalidade inversa (y = k/x)

A função de proporcionalidade inversa é do tipo f(x) = k/x, com k ≠ 0 e x ≠ 0. O seu gráfico é uma hipérbole com duas ramos, um em cada quadrante.

• Se k > 0, a hipérbole situa-se no 1.º e 3.º quadrantes (ramos decrescentes).
• Se k < 0, a hipérbole situa-se no 2.º e 4.º quadrantes (ramos crescentes).
• O domínio é ℝ\{0} e o contradomínio é ℝ\{0}.
• Os eixos coordenados são assíntotas — a curva aproxima-se deles sem nunca os tocar.
• O produto x × y = k é constante (daí o nome proporcionalidade inversa).

Tabela comparativa

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Função quadrática: Dada a função f(x) = 2x², calcula f(2) e f(-3).

Resolução:

f(2) = 2 × (2)² = 2 × 4 = 8

f(-3) = 2 × (-3)² = 2 × 9 = 18

Exemplo 2 — Proporcionalidade inversa: Dada a função f(x) = 6/x, calcula f(2) e f(-3).

Resolução:

f(2) = 6/2 = 3

f(-3) = 6/(-3) = -2

Atenção: Na função y = k/x, x nunca pode ser zero (divisão por zero). Ao construir a tabela de valores, escolhe números positivos e negativos, mas nunca zero.

O que inclui este PDF

• Tabela comparativa completa entre função quadrática e proporcionalidade inversa.
• Explicação detalhada de cada tipo de função com exemplos práticos.
• Exercícios resolvidos passo a passo.
• Exercícios propostos com soluções no final.
• Dicas e erros comuns a evitar.

Para mais recursos, vê também: fichas de exercícios de Matemática (9.º ano).

O que é uma equação do 2.º grau?

Uma equação do 2.º grau é uma equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O 2.º grau refere-se ao expoente máximo da incógnita x, que é 2. Estas equações também se chamam equações quadráticas e surgem em muitos contextos — desde problemas geométricos (calcular áreas) até ao movimento de projéteis em Física.

Os coeficientes identificam-se assim:

• a — coeficiente de x² (nunca pode ser zero)
• b — coeficiente de x (pode ser zero — equação incompleta)
• c — termo independente (pode ser zero — equação incompleta)

O discriminante (Δ)

O discriminante é a expressão que está dentro da raiz quadrada na fórmula resolvente: Δ = b² − 4ac. O seu valor diz-te quantas soluções reais existem:

• Δ > 0 → duas soluções reais distintas
• Δ = 0 → uma solução real (raiz dupla)
• Δ < 0 → nenhuma solução real (∅)

Equações incompletas

Quando b = 0 (ax² + c = 0): isola-se x² e extrai-se a raiz quadrada. Exemplo: 2x² − 8 = 0 → x² = 4 → x = ±2.

Quando c = 0 (ax² + bx = 0): põe-se x em evidência e usa-se a lei do anulamento do produto: A × B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0. Exemplo: x² − 6x = 0 → x(x − 6) = 0 → x = 0 ou x = 6.

Dica importante: Antes de aplicar a fórmula resolvente, verifica sempre se a equação está na forma ax² + bx + c = 0. Se faltar algum termo (b = 0 ou c = 0), há métodos mais rápidos — não precisas da fórmula!

O que inclui esta ficha

• Exercício 1: Identificar os coeficientes a, b, c em várias equações
• Exercício 2: Equações incompletas do tipo ax² + c = 0
• Exercício 3: Equações incompletas do tipo ax² + bx = 0
• Exercício 4: Equações completas com a fórmula resolvente + análise do discriminante
• Exercício 5: Problemas de contexto real (números consecutivos, áreas, projéteis)
• Soluções detalhadas nas páginas 5–7, com passo a passo

Ver todas as fichas de Matemática →

Valores e princípios. Kant (dever). Mill (felicidade).

Exercícios

Descarrega o PDF para praticares. Inclui soluções no final.

Être (je suis). Avoir (j’ai). Verbos -ER: parler, chanter.

Exercícios

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